Redigerer Kirchhoffs diffraksjonsteori (avsnitt)

==Rayleigh-Sommerfelds forbedring==

Kirchhoffs resultat er basert på antagelsen at både amplituden ''U'' og gradienten '''&nabla;'''''U'' er null på den delen ''B'' av skjermen som stopper det innkommende lyset. Men nå kan et vises at en [[analytisk funksjon]] som oppfyller begge disse betingelsene, må være null overalt. Disse antagelsene er derfor ikke riktige. Men det sier heller ikke hvordan resultatet til Kirchhoff er feil.<ref name = Goodman> J.W. Goodman, ''Fourier Optics'', Roberts & Company Publishers,  Greenwood Village, Colorado (2005). ISBN 0-9747-0772-4.</ref>

Dette problemet ble tatt opp igjen av [[Lord Rayleigh]] og [[Arnold Sommerfeld]] noen få år etter Kirchhoffs teori ble kjent. De innså at istedenfor disse to antagelsene om selve strålingsfeltet ''U'', kunne man gjøre andre antagelser for Green-funksjonen ''G''('''r''', '''r'''<sub>0</sub>). Hvis den i tillegg har en kilde i speilbildet '''r'''<sub>0</sub>' av observasjonspunktet '''r'''<sub>0</sub> på den andre siden av skjermen på samme måte som for [[Elektrostatikk#Speilladninger|speilladninger]] i [[elektrostatikk]]en, kan man konstruere to Green-funksjoner

: <math> G_\pm(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0|} \pm {e^{ik|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0'|}\over 4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0'|}</math>

som begge tilfredsstiller den opprinnelige differensialligningen. Mens ''G''<sub>&thinsp;-</sub> er null på den plane skjermen, er gradienten '''&nabla;'''''G''<sub>&thinsp;+</sub> der null. På den måten gir dette valget av Green-funksjoner to akseptable løsninger for den spredte strålingen. En tilsvarende beregning viser at Kirchhoffs formel er middelverdien av de to resultatene i denne forbedrete teorien til Rayleigh og Sommerfeld.<ref name = Goodman/> 

Hvis den innkommende bølgefronten er parallell med skjermen, tilsvarer de to løsningene de to leddene i retningsfaktoren (1 +  cos''&chi;'')/2 hvor det første kommer fra ''G''<sub>&thinsp;+</sub> og det andre fra ''G''<sub>&thinsp;-</sub>. For å være i overensstemmelse med Fresnels opprinnelige krav at det må finnes en retningsfaktor som avtar for ''&chi;'' > 0, er det vanlig å velge den siste Rayleigh-Sommerfeld-løsningen som gir leddet cos''&chi;'' og kommer fra  ''G''<sub>&thinsp;-</sub>. Dermed har man den forbedrete diffraksjonsformelen

: <math> U_{RS}(\mathbf{r}_0) =  {U_0\over i\lambda} \int_A\!dS  \cos\chi {e^{iks}\over s}</math>

Dette forholdsvis enkle resultatet følger også mer direkte fra en fysisk betraktning som ikke er basert på Green-funksjoner.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''The Classical Theory of Fields'', Pergamon Press, London (1962). </ref> I de fleste praktiske anvendelsene på [[diffraksjon]] av lys, spiller de forskjellige retningsfaktorene liten rolle slik at både Kirchoffs opprinnelige formel og de to fra Rayleigh og Sommerfeld vil gi samme resultat.<ref name = BW/>