Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

===Kvantebetingelser===
[[Fil:BS-states-1.jpg|thumb|360px|De tre innerste banene i H-atomet angitt ved kvantetallene (''n,k'') ved bruk av Bohr-Sommerfeld-kvantisering.]]
[[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]] er en «halvklassisk» metode for å gi et mekanisk system egenskaper som er i overensstemmelse med [[kvanteteori]]en. Man beregner den klassiske bevegelsen til systemet og pålegger så disse løsningene bestemte kvantebetingelser. Fremgangsmåten var en generalisering av [[Bohrs atommodell]] for hydrogenatomet, med viste seg snart å ikke kunne benyttes for atomer med flere elektroner. Dette førte til oppdagelsen av moderne [[kvantemekanikk]] i 1925.

Den klassiske bevegelsen til elektronet i hydrogenatomet er periodisk der det følger en [[ellipse]]bane. Bohr-Sommerfeld-kvantisering sier at de tillatte banene må oppfylle at integralene av de kanoniske impulsene rundt hver bane skal være et helt multiplum av Plancks konstant, det vil si

: <math> \oint\! d\phi\, p_\phi = n_\phi h, \;\;   \oint\! dr\, p_r = n_r h</math>

Her er ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp; og ''n<sub>r</sub>''&thinsp; positive heltall. De karakteriserer de tillatte banene og opptrer som [[kvantetall]] i den videre beskrivelsen.<ref name = Sommerfeld/>

Da dreieimpulsen  ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; er konstant, kan den tas utenfor i det første integralet. Det reduseres dermed til 2''&pi;''&thinsp; da den asimutale vinkel varierer mellom  ''&phi;'' = 0 til 2''&pi;''&thinsp; for en full periode. Den første betingelsen gir derfor ganske enkelt at {{nowrap|''p<sub>&phi;</sub>'' {{=}} ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp;''ħ''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;''&thinsp;}} er den [[Plancks konstant|reduserte Planck-konstanten]]. Innsatt i uttrykket for totalenergien til elektronet, finner man da for den radielle impulsen

: <math> p_r = \pm\sqrt{2m_e E - {p_\phi^2\over r^2} +  {Ze^2 m_e\over 2\pi\varepsilon_0 r}} </math>

som nå bare avhenger av radius ''r''. Det øverste fortegnet beskriver den del av bevegelsen der radius øker og det nederste der den avtar. Det tilsvarer at elektronet beveger seg mellom en minimal avstand ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' og en maksimal avstand ''r<sub>max</sub>&thinsp;'' fra atomkjernen. Disse vendepunktene tilsvarer at  {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0&thinsp;}} og kan uttrykkes ved store ''a'' og lille halvakse ''b'' til [[ellipse]]n.

Den radielle integrasjonen i den andre kvantebetingelsen kan nå utføres med et resultat som kan skrives på formen<ref name = Sommerfeld/> 

: <math>  E = - {(\alpha Z)^2 m_e c^2\over 2 (n_\phi + n_r)^2} </math>

Det gir eksakt samme energinivå som Bohrs formel når ''Z'' = 1, men med den viktige forskjell at hovedkvantetallet nå består av summen {{nowrap|''n'' {{=}}  ''n<sub>&phi;</sub>'' +  ''n<sub>r</sub>''&thinsp;}}. Baner med forskjellige kvantetall kan derfor ha samme energi. De sies i så fall å være '''degenererte''' med hverandre.