Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

===Partikkel i elektromagnetisk felt===

Når partikkelen har en [[elektrisk ladning]] ''q'', kan den vekselvirke både med [[Elektrisk felt|elektriske felt]] '''E''' og [[Magnetisk felt|magnetiske felt]] '''B''' som begge kan variere både med tiden og posisjonen til partikkelen. Begge disse koblingene bidrar til dens potensielle energi. De kan uttrykkes ved bruk av det tilsvarende [[Elektrisk potensial|elektriske potensialet]] {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;('''x''',''t'')}} og det [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|magnetiske potensialet]] {{nowrap|'''A''' {{=}} '''A'''('''x''',''t'')}} ved sammenhengene {{nowrap|'''E''' {{=}}  - &part;&thinsp;'''A'''/&part;&thinsp;''t'' - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;&thinsp;}} og {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;''' &times; '''A'''}}. Da vekselvirkningen skal være invariant under [[gaugetransformasjon]]er, vil den inngå i [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen på en bestemt måte. Den blir

: <math> L = {1\over 2}m \mathbf{v}^2 - q\Phi  + q \mathbf{v}\cdot\mathbf{A} </math>

hvor '''v''' = d'''x'''/d''t&thinsp;''  er hastigheten til partikkelen. For å finne den tilsvarende Hamilton-funksjonen behøver man partiklens [[Lagrange-mekanikk#Bevegelseskonstanter|konjugerte impuls]]. Den blir nå {{nowrap|'''p''' {{=}} &part;''L''/&part;'''v'''}} = ''m''&thinsp;'''v''' + ''q''&thinsp;'''A'''. Dermed tar Hamilton-funksjonen den kompakte formen

: <math>\begin{align} H &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{p} - L\\  &= {1\over 2m}\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + q\Phi \end{align} </math>

Igjen kan Hamilton-operatoren finnes herfra ved substitusjonen <math> \mathbf{p} \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Det er da viktig å ta hensyn til at denne impulsoperatoren ikke [[Kommutativ lov|kommuterer]] med posisjonen '''x''' som inngår i vektorpotensialet.<ref name = Liboff/>

Kravet om en gaugeinvariant kobling til de elektromagnetiske feltene bestemmer også hvordan de inngår i Dirac-ligningen. Den tilsvarende Hamilton-funksjonen blir da

: <math> H = c\boldsymbol{\alpha}\cdot(\mathbf{p} - q\mathbf{A}) + \beta mc^2 +q\Phi </math>

Siden potensialene '''A''' og &Phi; generelt  varier med tiden, vil ikke disse Hamilton-operatorene ha noen entydige egenverdier. Det betyr at de elektromagnetiske koblingene vil påvirke det fysiske systemet ved at det foretar kvantesprang mellom ellers stabile eller stasjonære tilstander.<ref name = Gross/>