Redigerer Gravitasjonspotensial (avsnitt)

==Tidekrefter==

En masse ''m'' i et generelt gravitasjonspotensial &Phi; vil påvirkes av [[gravitasjonsfelt]]et {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}} som gir opphav til kraften {{nowrap|'''F''' {{=}} ''m''&thinsp;'''g'''}}. Da potensialet vil variere med stedet, vil denne gravitasjonskraften i allminnelighet være litt forskjellig i to nærliggende posisjoner. Denne differansen kalles en [[tidekraft]] og gir opphav til [[tidevann]] på Jorden og lignende fenomen på andre [[planet]]er.

Hvis man betrakter en partikkel i avstand ''R'' fra en sentral masse ''M'', befinner den seg i potensialet {{nowrap|&Phi; {{=}} - ''GM''/''R''}}. Velger man en ''z''-akse i radiell retning, vil partikkelen dermed være utsatt for feltet {{nowrap|''g<sub>z</sub>''(0) {{=}} - ''GM''/''R''<sup>&thinsp;2</sup>}}. En annen partikkel litt lenger ut i avstand ''R + z'', vil tilsvarende befinne seg i feltet  {{nowrap|''g<sub>z</sub>''(''z'') {{=}}  - ''GM''/(''R + z''&thinsp;)<sup>2</sup>}}. Differansen mellom disse to

: <math> \Delta g_z = g_z(z) - g_z(0) = 2z {GM\over R^3} </math>

når man antar at ''z'' << ''R''. Da denne er positiv, betyr det at partikler i disse to posisjonene vil bli drevet bort fra hverandre.

[[Fil:Marée.jpg|thumb|280px|[[Tidevann]] på [[Jorden]] skyldes at [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjons-kraften]] fra [[Månen]] er sterkere på siden som vender mot den og svakere på siden som vender bort fra den, enn i Jordens sentrum.]]
Da feltet '''g''' er rettet mot sentrum til massen ''M'', vil det ha samme størrelse, men litt forskjellig retning i et punkt i avstand ''x'' vinkelrett på ''z''-aksen sammenlignet med feltet i origo. Denne differansen er gitt ved ''x''-komponenten av det radielle feltet og er dermed

: <math> \Delta g_x =  -x{GM\over R^3} </math>

Da den er negativ, vil partikler i disse to posisjonene transvers til forbindelseslinjen mellom massene,  ble trukket mot hverandre. Det samme gjelder for to posisjoner separert på samme måte i ''y''-retning.

Disse tre differansene i gravitasjonsfeltet kan skrives som den negative [[gradient]]en &Delta;'''g''' = - '''&nabla;'''&thinsp;&Psi; av potensialet

: <math>  \Psi(\mathbf{r}) = - {GM\over R^3}\left(z^2 - {1\over 2}x^2  - {1\over 2}y^2 \right) 
   = - {GMr^2\over 2R^3}\left(3\cos^2\theta - 1 \right) </math>

etter å ha innført [[kulekoordinater|sfæriske koordinater]] ''x'' = ''r''&thinsp;sin''&theta;''&thinsp;cos''&phi;'', ''y'' = ''r''&thinsp;sin''&theta;''&thinsp;sin''&phi;'' og ''z'' = ''r''&thinsp;cos''&theta;''. Vinkelavhengigheten er gitt ved det andre [[Legendre-polynom]]et ''P''<sub>2</sub>(cos&thinsp;''&theta;'') som er karakteristisk for et [[multipolutvikling|kvadrupolmoment]].<ref name = HF> L.N. Hand and J.D. Finch, ''Analytical Mechanics'', Cambridge University Press, England (1998). ISBN 0-521-57572-9.</ref>

På Jorden skyldes disse tidekreftene påvirkningen fra [[Månen]] og [[Solen]]. De virker på partiklene i havvannet som holdes på plass av Jordens eget gravitasjonsfelt. Men kombinasjonen av disse to effektene betyr at havnivået ikke er helt konstant, men får ulik høyde på forskjellige steder. Partikler på forbindelseslinjen til den eksterne massen med {{nowrap|''&theta;'' {{=}} 0<sup>&deg;</sup>}}  eller 180<sup>&deg;</sup> blir trukket bort fra Jorden, mens partikler normalt til denne retningen med {{nowrap|''&theta;'' {{=}} 90<sup>&deg;</sup>}} og eller 270<sup>&deg;</sup> blir trukket inn mot sentrum. Den resulterende høydeforskjellen vil flytte seg med [[jordrotasjon]]en og kalles [[tidevann]]. Den vil ha et maksimum to ganger i døgnet.