Redigerer Gnomonisk projeksjon (avsnitt)

==Differensiell geometri==

Ved fremstilling av [[kart]] tenkes Jordens overflate som en glatt [[sfære]]. Dette er en [[krumning|krum]] [[flate]] som er umulig å avbilde i sin helhet på et plan. Den har en [[sfærisk geometri]]. Men for tilstrekkelig små områder lar det seg gjøre, noe som tilsvarer at man da tilnærmet kan beskrive dette området ved [[euklidsk geometri]].<ref name = Kreyszig> E. Kreyszig, ''Differential Geometry'', Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.</ref>

Avbildning av større områder vil nødvendigvis gi forvrengninger av relative avstander, vinkler og areal. Disse kan beskrives matematisk ved forandringen til den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] som avbildningen medfører. Ved bruk av vanlige [[kulekoordinater]] (''&theta;'',''&phi;'') på sfæren, er denne tensoren ekvivalent med det kvadrerte [[Metrisk tensor#Riemannske rom|linjeelementet]]

: <math> ds^2 = R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) </math>

[[Fil:Arctic_Ocean.png|250px|right|thumb|Kart over [[Arktis|arktiske]] områder i gnomonisk projeksjon.]]

Ved en gnomisk projeksjon på et plan som tangerer sfæren i nordpolen (''&theta;'' = 0,''&phi;'' = 0), vil et vilkårlig punkt på den nordlige halvkule få de [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] {{nowrap|''x'' {{=}} ''r''&thinsp;cos''&phi;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''r''&thinsp;sin''&phi;''}} hvor igjen det er naturlig å innføre {{nowrap|''r'' {{=}} ''R''&thinsp;tan''&theta;''}}. Derfor får man at

: <math> \sin^2\theta = {r^2\over R^2 + r^2} </math>

hvor <math> r^2 = x^2 + y^2 </math>  slik at <math> rdr = xdx + ydy </math>. [[Derivasjon]] av uttrykket for <math> \sin^2\theta</math> gir nå
 
: <math> r d\theta = {R\over  R^2 + r^2} (xdx + ydy) </math>

Nå er også <math> \tan\phi = y/x </math> som betyr at <math> r^2 d\phi = xdy - ydx.</math>  Uttrykt ved disse nye koordinatene blir dermed linjeelementet på sfæren

: <math>  ds^2 = {R^2\over (R^2 + r^2)^2}\left[(R^2 + y^2) dx^2  - 2xy\,dxdy +  (R^2 + x^2) dy^2\right] </math>

Ved å innføre den euklidske vektoren '''r''' = (''x,y'') kan det skrives på den litt mer kompakte formen

: <math> ds^2 = R^2\Big[{d\mathbf{r}^2\over R^2 + r^2} - {(\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r})^2\over (R^2 + r^2)^2}\Big] </math>

Dette er generelt forskjellig fra det euklidske linjeelementet <math> ds^2 = d\mathbf{r}^2 </math> i planet slik at dette er ingen [[konform avbildning]]. Men i det lille området rundt nordpolen hvor <math> r \ll R </math> er dette oppfylt slik at der er forvrengningene på kartet neglisjerbare.

Ved etableringen av [[Riemanns differensialgeometri]] for over 150 år siden benyttet [[Eugenio Beltrami]] dette linjeelementet til å finne metrikken for det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]] ved å la ''R''<sup>&thinsp;2</sup> &rarr; - ''R''<sup>&thinsp;2</sup>. Dette negativt krummete plan kan derfor tenkes som en kuleflate med [[imaginært tall|imaginær]] radius og kan på denne måten beskrives med den resulterende [[hyperbolsk geometri#Beltrami-koordinater|Beltrami-Klein-metrikken]].

===Geodetiske linjer===
Den gnomiske projeksjonen tilsvarer en koordinattransformasjon hvor den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] til sfæren har fått formen

: <math> g_{\mu\nu} = {R^2\over R^2 + r^2}\Big[\delta_{\mu\nu} - {x_\mu x_\nu\over R^2 + r^2}\Big] </math>

der ''x<sub>&mu;</sub>'' er komponentene til vektoren '''r''' = (''x,y''). De kontravariante komponentene ''g<sup>&mu;&nu;</sup>'' av tensoren finnes fra den inverse matrisen bestående av de kovariante komponentene ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' og er

: <math> g^{\mu\nu} = \Big(1 + {r^2\over R^2}\Big)\Big[\delta^{\mu\nu} + {x^\mu x^\nu\over R^2}\Big] </math>

De kontravariante komponentene ''x<sup>&mu;</sup>'' er de samme som de kovarante ''x<sub>&mu;</sub>'' da metrikken på kartet er euklidsk og gitt ved [[Kronecker-delta]]et ''&delta;<sub>&mu;&nu;</sub>''. 

Geodetisk linjer på kulen kan nå finnes fra den [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|geodetiske ligningen]] i denne projiserte metrikken. Den inneholder [[Geodetisk kurve#Geodetisk ligning|Christoffel-symbolene]] som nå kan beregnes fra den metriske tensoren. De kan sammenfattes i formelen

: <math> \Gamma^\lambda_{\;\mu\nu} = {-1\over R^2 + r^2}\Big(\delta^\lambda_\mu x_\nu + \delta^\lambda_\nu x_\mu \Big) </math>

Men det er akkurat Christoffel-symbol med denne formen som resulterer i at de geodetiske kurvene er rette linjer. Det viser at den differensielle geometrien dermed bekrefter at de tilsvarer storsirkler på sfæren. Av samme grunn vil derfor også de geodetiske kurvene for det hyperbolske planet være rette linjer i Beltrami-Klein-metrikken.<ref name = Kreyszig/>