Redigerer Fermi-Dirac statistikk (avsnitt)

===Maksimalisering===

Ved bruk av [[Stirlings formel]] <math> \ln n! = n\ln n - n ,</math>  er

: <math> \ln W = \sum_r [g_r \ln g_r - n_r \ln n_r  - (g_r - n_r)\ln (g_r - n_r) ]  </math>

Maksimum av dette antallet kan finnes ved bruk lav [[variasjonsregning]] der man foretar en lliten forandring  <math> n_r \rightarrow n_r + \delta n_r </math> av okkupasjonstallene. Det betyr at den resulterende forandringen 

: <math> \delta \ln W = \sum_r [\, \ln(g_r - n_r) - \ln n_r]\delta n_r </math>

skal være null samtidig som at bibetingelsene er oppfylte. Det kan gjøres ved å innføre to [[Lagrange-multiplikator]]er ''&alpha;&thinsp;'' og ''&beta;&thinsp;'' slik at kravet for et maksimum blir at den totale varriasjonen <math> \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 . </math> Det gir

: <math> \ln n_r - \ln(g_r - n_r) + \alpha + \beta E_r = 0 </math>

Det gir Fermi-Diracs resultat 

: <math>  n_r  = {g_r \over {e^{\alpha + \beta E_r} + 1}} </math>

for okkupasjonstallene av fermioner når de er i termisk likevekt. De to ukjente størrelsene ''&alpha;&thinsp;'' og ''&beta;&thinsp;''  kan bestemmes fra hva fordelingen gir ved høy temperatur når den skal. være i overensstemmelse med klassisk  Maxwell-Boltzmann statistikk. Det gir {{nowrap|''&beta;'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''}} og {{nowrap|''&alpha;'' {{=}} - ''&mu;''/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''}} hvor ''&mu;&thinsp;'' er det [[kjemisk potensial]] for systemet av partikler.<ref name = Schroeder/>