Redigerer Variasjonsregning (avsnitt)

==Integralkonstanter==

I det generelle tilfellet med ''N'' ukjente funksjoner i variasjonsproblemet, kan det skje at en eller flere av disse ikke opptrer i integranden <math> F(y_i,\dot{y_i},x) </math>, men kun deres deriverte. Er en av disse ''y<sub>k</sub>'', vil derfor ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y<sub>k</sub> = 0''. Euler-Lagrange-ligningen for akkurat denne funksjonen blir derfor

: <math> {d\over dx}\Big( {\partial F\over\partial \dot{y_k}}\Big) = 0 </math>

Det betyr at størrelsen

: <math>  J_k =  {\partial F\over\partial \dot{y_k}} </math>

er uavhengig av ''x'' og kalles en ''integralkonstant''. Den tilsvarende, variable funksjonen ''y<sub>k</sub>'' kalles ofte for en ''syklisk variabel''.

Tilstedeværelsen av slike sykliske variable, forenkler ofte løsningen av det tilsvarende variasjonsproblemet. For eksempel, i beregningen av den geodetiske linjen ser man at ''y'' er en slik variable. Derfor vet man med en gang at ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y''' er en integralkonstant, det vil si at

: <math> {y'\over \sqrt{1 + y'^2}} = konst. </math>

Dermed må den førstederiverte  ''y'''   være konstant, og man har løsningen uten mer regning.

En annen integralkonstant oppstår når integranden ''F'' inneholder ingen eksplisitt avhengighet av den variable ''x'' slik at ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;x = 0''. Da blir

: <math> {dF\over dx} =\sum_i \left({\partial F\over \partial y_i} \dot{y_i}  +  {\partial F\over \partial \dot{y_i}} \ddot{y_i}\right)</math>

I det første leddet setter vi nå inn fra Euler-Lagrange-ligningen og får

: <math> {dF\over dx} =\sum_i \left[ {d\over dx}\Big( {\partial F\over\partial \dot{y_i}}\Big)\dot{y_i}  
                                   +  {\partial F\over \partial \dot{y_i}} \ddot{y_i}\right]    =  {d\over dx}\sum_i \Big( {\partial F\over\partial \dot{y_i}}\dot{y_i}\Big) </math>

når vi bruker regelen for den deriverte av et produkt. Dette betyr at størrelsen

: <math> K = F -  \sum_i{\partial F\over\partial \dot{y_i}}\dot{y_i} </math>

er uavhengig av ''x'' og derfor en integralkonstant i dette tilfellet. Den forbindes ofte med den italienske matematiker [[Beltrami]].

Eksemplet med den geodetiske linjen tilhører denne klassen av variasjonsproblem. Her blir

: <math> K = \sqrt{1 + y'^2} - {y'^2\over \sqrt{1 + y'^2}} =  {1\over \sqrt{1 + y'^2}}  = konst </math>

som igjen betyr at den førstederiverte  ''y''' må være konstant som vi fant tidligere.<ref name = Boas/>
Beskrivelse	Hva du skriver	Hva du får
Kursiv	''Kursiv tekst''	Kursiv tekst
Fet	'''Fet tekst'''	Fet tekst
Fet & kursiv	'''''Fet & kursiv tekst'''''	*Fet & kursiv tekst*