Redigerer SIR-modell (avsnitt)

==Tidsforløp==
[[Fil:SIR model anim.gif|thumb|360px|Tidsutviklinger I SIR-modellen for forskjellig verdier av reproduksjonstallet. Maksimalt antall infiserte blir mindre når dette blir mindre. Usmittette ''S&thinsp;'' vises i <span style="color:blue">'''blått'''</span>, infiserte ''I&thinsp;''  i <span style="color:red">'''rødt'''</span> og resistente ''R&thinsp;'' i <span style="color:green">'''grønt'''</span>.]]
Helt i begynnelsen av smitteutbredelsen kan man anta at alle er usmittet unntatt et svært lite antall infiserte som starter epidemien. Den tilsvarende brøkdelen ''S&thinsp;'' av hele populasjonen er derfor svært tett opptil 100%. Betegner man denne verdien med ''S''<sub>0</sub>, vil man derfor med meget god nøyaktighet kunne skrive at {{nowrap|''S''<sub>0</sub> {{=}} 1.}} Det tilsvarer å  sette brøkdelen av infiserte ved samme tidspunkt {{nowrap|''I''<sub>0</sub> {{=}} 0}} da det på begynnelsen er ingen helbredete slik at  også {{nowrap|''R''<sub>0</sub> {{=}} 0,}}

Men antall infiserte vil begynne å vokse. Det følger fra den andre vekstligningen som kan skrives som

: <math> {dI\over d t} =  (b S  - a) I </math>

Så lenge man befinner seg helt i begynnelsen av utbredelsen, kan man her sette {{nowrap|''S''<sub>0</sub> {{=}} 1.}} Antall smittede vil derfor starte å vokse [[eksponentiell vekst|eksponentielt]] under den forutsetning at  {{nowrap|''b - a'' > 0.}} Definerer man '''reproduksjonstallet''' som

: <math> r_0 = {b\over a}, </math>

vil derfor smitten bre seg når ''r''<sub>0</sub> > 1. Hvis denne viktige parameteren ligger under grenseverdien, vil ikke smitten kunne bre seg. Da vil smittete bli raskere helbredet enn nye infeksjoner oppstår.<ref>J.H. Jones, [https://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-Epidemics050308.pdf ''Models of Infectious Disease''],  Spring Workshop in Formal Demography, Stanford University (2008).</ref>

===Maksimum av infiserte===
I denne første fasen  av epidemien der {{nowrap|''bS - a'' > 0}} slik at smitten brer seg, vil derfor brøkdelen av usmittete måtte tilfredsstille betingelsen {{nowrap|''S'' > 1/''r''<sub>0</sub>.}} Når ''S'' ikke lenger oppfyller denne  [[ulikhet (matematikk)|ulikheten]], begynner infeksjonen å avta ved at {{nowrap|''dI''/''dt'' < 0}}. Det maksimale antall smittete skjer derfor når {{nowrap|''S''  {{=}} 1/''r''<sub>0</sub>.}}

Dette maksimumet kan finnes ved å kombinere de to første vekstligningene. Man finner da den ekvivalente ligningen

: <math> {dI\over dS} = - 1 + {1\over S r_0} </math>

som lett kan løses ved direkte [[integral (matematikk)|integrasjon]]. Det gir

: <math> I + S - {1\over r_0}\ln S = C </math>

hvor integrasjonskonstanten ''C'' kan finnes ut fra verdiene ved epidemiens begynnelse. Det gir {{nowrap|''C'' {{=}} 1}} da {{nowrap|''S''<sub>0</sub> {{=}} 1}} og  {{nowrap|''I''<sub>0</sub> {{=}} 0&thinsp;}} ved dette tidspunktet. Da det maksimale antall smittete skjer for {{nowrap|''S''  {{=}} 1/''r''<sub>0</sub>,}} finner man den maksimale verdien

: <math> I_{max} = 1 - {1\over r_0}\big( 1 + \ln r_0 \big) </math>

for brøkdelen av infiserte under epidemien når ''r''<sub>0</sub> > 1. Desto lavere dette reproduksjonstallet er, desto lavere vil maksimumet være. For eksempel, hvis {{nowrap| ''r''<sub>0</sub> {{=}} 2,}} vil maksimum være omtrent 15% av hele populasjonen, mens det blir 44% for {{nowrap| ''r''<sub>0</sub> {{=}} 4}} ifølge denne modellen.

===Sluttfase===

Når epidemien etter lang tid har fått rast ut, vil ikke flere bli smittet slik at ''I&thinsp;'' vil gå mot null. De som engang var smittete, vil ha blitt helbredet og dermed også resistente. Sluttfasen vil derfor bestå av disse og eventuelt noen som fremdeles er usmittet. Dette antallet kan også finnes fra den samme ligningen som forbinder ''I&thinsp;'' og ''S'', men nå ved svært sene tidspunkt som angis ved indeksen &infin;. Ved å sette inn at {{nowrap|''I''<sub>&infin;</sub> {{=}} 0}}, har man da at {{nowrap|''S''<sub>&infin;</sub> -  (1/''r''<sub>0</sub>)&thinsp;ln''S''<sub>&infin;</sub>}} = 1 eller

: <math> S_\infty = e^{- r_0(1 - S_\infty)} </math>

Dette er en implisitte ligning for brøkdelen ''S''<sub>&infin;</sub>. Den kan løses [[numerisk analyse|numerisk]] eller med god tilnærmelse grafisk ved å plotte begge sidene av den. Man finner da at brøkdelen  av usmittete vil være større enn null. Derfor vil alltid et endelig antall individer kunne unngå smitten uansett hvor lenge den får fortsette. Men dette antallet blir mindre når reproduksjonstallet  ''r''<sub>0</sub>&thinsp; blir større. Typisk er {{nowrap|''S''<sub>&infin;</sub> {{=}} 20%}} for  {{nowrap| ''r''<sub>0</sub> {{=}} 2,}} mens {{nowrap|''S''<sub>&infin;</sub> {{=}} 2%}} når {{nowrap| ''r''<sub>0</sub> {{=}} 4.}} Dette er som intuitivt forventet.<ref>J.C. Miller, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3506030/ ''A note on the derivation of epidemic final sizes''], Bulletin of Mathematical Biology. '''74''', 2125–2141 (2012).</ref>