Redigerer Pol og polare (avsnitt)

==Analytisk fremstilling==

Hvert punkt ''P'' på en [[linje]] som skjærer et [[kjeglesnitt]] et to punkt  ''A'' = (''x''<sub>''A''</sub>,''y''<sub>''A''</sub>) og ''B'' = (''x''<sub>''B''</sub>,''y''<sub>''B''</sub>) kan skrives på den kompakte formen {{nowrap|'''r'''<sub>''P''</sub> {{=}} (1 - ''t''&thinsp;)'''r'''<sub>''A''</sub> + ''t''&thinsp;'''r'''<sub>''B''</sub>}} når man benytter vanlig notasjon i [[Harmonisk deling#Affin geometri|affin geometri]]. Når ''P'' ligger på selve linjestykket ''AB'', vil parameteren {{nowrap|0 < ''t'' < 1}}, for andre verdier av parameteren ligger det utenfor.<ref name = CR/>

Lengden til linjestykket ''AP'' er nå gitt ved differansen {{nowrap|'''r'''<sub>''P''</sub> - '''r'''<sub>''A''</sub> {{=}} ''t''&thinsp;('''r'''<sub>''B''</sub> - '''r'''<sub>''A''</sub>)}}, mens ''PB'' er gitt ved {{nowrap|'''r'''<sub>''B''</sub> - '''r'''<sub>''P''</sub> {{=}} (1 - ''t''&thinsp;)('''r'''<sub>''B''</sub> - '''r'''<sub>''A''</sub>)}}. Punktet ''P'' deler dermed linjestykket ''AB'' med [[delingsforhold]]et ''m'' = {{nowrap|''AP''/''PB'' {{=}} ''t''&thinsp;/(1 - ''t''&thinsp;)}} slik at {{nowrap|''t'' {{=}} ''m''/(1 + ''m'')}} når det har en bestemt posisjon med koordinater  (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>). De kan dermed finnes fra {{nowrap|'''r'''<sub>''P''</sub> {{=}} (1 - ''t''&thinsp;)'''r'''<sub>''A''</sub> + ''t''&thinsp;'''r'''<sub>''B''</sub>&thinsp;}} som gir 

: <math> x_0 = {x_A + mx_B\over 1 + m},  \;\;\; y_0 = {y_A + my_B\over 1 + m}</math>

For punktet ''P'' eksisterer det nå et [[harmonisk deling|harmonisk konjugert]] punkt ''S'' = (''x,y'') som vil dele det samme linjestykket med delingsforholdet {{nowrap|''AS''/''SB'' {{=}} - ''m''}}. Det har derfor koordinatene

: <math> x = {x_A - mx_B\over 1 - m},  \;\;\; y = {y_A - my_B\over 1 - m}</math>

Ved direkte multiplikasjon av de to koordinatparene finner man

: <math> xx_0 = {x_A^2 - m^2x_B^2\over 1 - m^2},  \;\;\;  yy_0 = {y_A^2 - m^2y_B^2\over 1 - m^2}</math>

Disse uttrykkene for de konjugerte delingspunktene er uavhengig av slags kjeglesnitt [[sekant]]en gjennom ''P'' skjærer gjennom.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs-Lyche, ''Matematikk for Realgymnaset'', Bind III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

===Ellipsens polare===
[[Fil:Pool poollijn.svg|thumb|270px|Når punktet ''P'' har polaren ''p'',  ''L'' har polaren &ell;, vil skjæringspunkt ''M'' mellom polarene ha polaren ''m'' som går gjennom ''P'' og ''L''.]]
En [[ellipse]] med hovedakser ''a'' og ''b'' langs koordinataksene har ligningen

: <math> {x^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1 </math>

I uttrykket for koordinatene for de konjugerte delingspunktene kan man dele ''xx''<sub>0</sub> med ''a''<sup>&thinsp;2</sup> og ''yy''<sub>0</sub> med ''b''<sup>&thinsp;2</sup> og addere resultatene. Da skjæringspunktene ''A'' og ''B'' ligger på ellipsen slik at deres koordinater oppfyller ellipseligningen, finner man dermed at

: <math> {xx_0\over a^2} + {yy_0\over b^2} = 1 </math>

Dette fremstiller igjen en rett linje som er polaren til punktet {{nowrap|''P'' {{=}} (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>)}} i forhold til ellipsen. Når dette punktet ligger på kjeglesnittet, ser man at ligningen fremstiller [[Tangent (matematikk)#Implisitt fremstilling|tangenten]] til kurven i samme punkt.

Hvis skjæringspunktene ''A'' og ''B'' istedet hadde fremkommet ved å la linjen gjennom ''P'' skjære gjennom en [[hyperbel]] orientert på samme måte, ville ligningen for polaren få samme form, men med et minustegn mellom de to leddene på venstre side.

===Polarer fra tangenter===

En linje gjennom punktet ''P'' og ellipsens sentrum skjærer den i to punkt og definerer derfor en av dens [[Kjeglesnitt#Ordliste for kjeglesnitt|diametre]]. Hvis det ene har koordinatene (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>), har tangenten til ellipsen i dette punktet [[stigningstall]]et {{nowrap|''k'' {{=}} - (''b''<sup>&thinsp;2</sup>/''a''<sup>&thinsp;2</sup>)''x''<sub>1</sub>/''y''<sub>1</sub>}}. Men siden dette punktet ligger på samme linje som ''P'' gjennom sentrum, er {{nowrap|''x''<sub>1</sub>/''y''<sub>1</sub> {{=}} ''x''<sub>0</sub>/''y''<sub>0</sub>}}. Derfor er tangenten i dette punktet parallell med polaren gjennom ''P''.

Polaren til et punkt ''P'' utenom ellipsen går gjennom de to tangeringspunktene for linjer fra ''P'' til ellipsen. Likedan vil skjæringspunktet mellom tangentene til en fritt valgt sekant gjennom  ''P''  gå gjennom polaren til dette punktet. Dette gjelder også når ''P'' ligger inne i ellipsen. Det eneste unntaket er origo som ikke har noen polare. I dette tilfellet vil sekanten definere en korde langs en diameter med tangenter i endepunktene som er parallelle og derfor ikke skjærer hverandre. Formelt ligger da polaren uendelig borte.

===Parabelen===

En [[parabel]] i normalstilling med akse langs ''x''-aksen og toppunkt i origo, er gitt ved ligningen ''y''<sup>&thinsp;2</sup> = 2''px'' hvor parameteren ''p'' er  dens [[semi latus rectum|semi-latus rectum]], Parabelens brennpunkt er dermed (''p''/2, 0). Alle diametrene til dette kjeglesnittet er parallelle med ''x''-aksen.

Polaren til et punkt ''P'' = (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) kan igjen bestemmes ved en linje gjennom ''P'' som skjærer parabelen i punktene ''A'' og ''B''. Koordinatene til det fjerde punktet ''S'' = (''x,y'') som sammen med ''P'' deler korden ''AB'' harmonisk med forholdet ''m'', er de samme som for de andre kjeglesnittene. Derfor har man også her sammenhengen

: <math> yy_0 = {y_A^2 - m^2y_B^2\over 1 - m^2}</math>

Da ligningen for parabelen er lineær i koordinaten ''x'', må dette resultatet kombineres med ''x'' + ''x''<sub>0</sub>  som blir

: <math> x + x_0 = {x_A - mx_B\over 1 - m} +{x_A + mx_B\over 1 + m} = 2 {x_A - m^2x_B\over 1 - m^2}</math>

og ikke ''xx''<sub>0</sub> som for ellipsen og hyperbelen. Da skjæringspunktene ''A'' og ''B'' ligger på parabelen, blir dermed ligningen for polaren

: <math> yy_0 = p(x + x_0) </math>

Når punktet ''P'' ligger på polaren, faller den derfor sammen med tangenten i dette punktet. I det spesielle tilfellet at det ligger i brennpunktet slik at ''P'' = (''p''/2, 0), blir polaren linjen {{nowrap|''x'' {{=}} - ''p''/2}} som er [[Parabel#Geometrisk definisjon|styrelinjen]] til parabelen.<ref name = STL/>

Polen til en generell, rett linje  ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0 kan analytisk bestemmes ved å identifisere den med ligningen for polaren. Det gir koordinatene {{nowrap|''x''<sub>0</sub> {{=}} ''c''&thinsp;/''a''}} og {{nowrap|''y''<sub>0</sub> {{=}} - ''bp''&thinsp;/''a''}} for polen. En rett linje parallell med ''x''-aksen har {{nowrap|''a'' {{=}} 0}} og derfor ingen pol da den ligger uendelig langt borte. 

Når {{nowrap|''b'' &ne; 0}}, er ''k'' = - ''a''&thinsp;/''b'' [[stigningstall]]et til denne linjen. Dens pol har dermed koordinaten {{nowrap|''y''<sub>0</sub> {{=}} ''p''&thinsp;/''k''}} som bare avhenger av ''k''. Polene til alle parallelle linjer ligger derfor på en diameter som halverer alle korder med samme stigningstall som linjene.