Redigerer Matematikk (avsnitt)

== Matematisk arbeidsform og formalisme ==

Matematikkens grunnlag er basert på definisjoner og aksiomer. En definisjon tilordner et begrep til et ord, for eksempel ordet «kvadratrot» og begrepet «tallet som ganget med seg selv blir radikanden». 
Et aksiom eller postulat er et grunnleggende utsagn som godtas uten bevis, som Euklids aksiomer for geometri og [[Peanos aksiomer]] for de naturlige tallene.  
Fra definisjonene og aksiomene kan man ved hjelp av logiske slutninger utlede ytterligere resultat, i en strengt deduktiv prosess.  Et resultat er gjerne uttrykt i form av et [[teorem]], også kalt en «sats» eller «setning».
Et velkjent eksempel er [[den pytagoreiske læresetningen]].

Et [[matematisk bevis]] er et logisk resonnement som bekrefter at et utsagn er «sant», i samsvar med og utledet fra forutsetningene.  Bevisteori studeres som en del av [[matematisk logikk]].
Et [[lemma (matematikk)|lemma]] er i matematikk en mindre hjelpesetning som brukes til å bevise en større setning.
Et matematisk korrolar er en slutning som kan trekkes fra en større setning.  

Med sin aksiomatiske basis og deduktive arbeidsform er matematikk et [[aksiomatisk-deduktivt system]].  

I oppbyggingen av matematikk spiller [[matematisk objekt]] en viktig rolle.  Dette er abstrakte elementer som er formelt og presis definert, og ofte karakterisert ved egenskaper som størrelse, orientering, form og struktur.  
Et av de enkleste og mest grunnlegende matematiske objektene er ''tall'', men listen av definerte objekter er svært stor: [[vektor]]er, [[matrise]]r, [[tensor]]er, [[funksjon (matematikk)|funksjoner]], 
[[distribusjon (matematikk)|distribusjoner]], [[punkt]], [[linjestykke]]r, [[kurve]]r, [[polygon]], [[mengde]]r, [[gruppe (matematikk)|grupper]], [[vektorrom]] osv.  

Mellom matematiske objekt kan en definere mange typer ''relasjoner'', for eksempel at tall A er større en tall B eller at trekant A er [[formlikhet|formlik]] med trekant B.  Noen relasjoner kan generaliseres
til svært mange typer objekter (som likhet og identitet), mens andre er mer spesifikt knyttet til et begrenset antall typer objekter (som formlikhet).   
En [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] er en viktig form for relasjon mellom to mengder, som til et hver objekt i den ene mengden knytter et objekt i den andre mengden.  Nært knyttet til funksjoner er også [[operasjon (matematikk)|matematisk operasjoner]] - framgangsmåter som fra ett eller et endelig antall objekter definerer et nytt objekt.  

[[Abstraksjon (matematikk)|Matematisk abstraksjon]] er en prosess der en beskriver objekter og relasjoner løsrevet fra den virkelige verden og også løsrevet fra spesifikke anvendelser.<ref name=ABSTR/>
Et tall er i matematikk et abstrakt konsept eller objekt, løsrevet fra telling av fingre, sauer og andre gjenstander i det virkelige liv.  
Det er et grunnleggende mål i matematikk å kartlegge egenskaper og relasjoner og som gjelder for så stor klasse av objekter som mulig.  
Dette kan gjøres gjennom studiet av [[struktur (matematikk)|matematiske strukturer]], som er mengder av abstrakte objekter utstyrt med et sett av relasjoner og operasjoner.  
Viktige matematiske strukturer er [[gruppe (matematikk)|grupper]], [[kropp (matematikk)|kropper]], [[ring (matematikk)|ringer]], [[topologi|topologiske rom]] og [[vektorrom]]. 

[[Matematiske symboler]] blir brukt til å representere matematiske objekter og relasjoner, inkludert operasjoner. Slik sett kan matematikk karakteriseres som et [[formelt språk]].
Det meste av matematisk notasjon som er i bruk i dag er innført etter 1600-tallet.<ref name=CAJORI/>

En ''matematisk teori'' er en noenlunde helhetlig kunnskapsmengde om et gitt emne, uttrykt i et matematisk språk. Eksempler kan være «funksjonsteori» og «gruppeteori».