Redigerer Linje (avsnitt)

==Avstand mellom punkt og linje==
[[Fil:vectorpoint-to-line.svg|thumb|220px|Avstanden mellom en linje og et punkt ''P'' kan beregnes ved å innføre et vilkårlig punkt ''Q'' på linjen.]]

For å finne avstanden mellom linjen  {{nowrap|'''n'''&sdot;'''r''' + ''c'' {{=}} 0}} og et punkt ''P'' med koordinater (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) kan man betrakte et vilkårlig punkt ''Q'' =  ''Q''(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) på linjen. Avstanden ''d'' er da gitt ved projeksjonen av [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''u''' = ''P - Q'' på vektoren '''n''' normalt på linjen som vist i figuren. Den er derfor gitt ved uttrykket ''d'' = '''u'''&sdot;'''n'''&thinsp;/|'''n'''&thinsp;| hvor lengden av normalvektoren er |'''n'''&thinsp;| = {{nowrap|&radic;(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>)}}. Da vektoren '''u''' har komponentene {{nowrap|(''x''<sub>0</sub> - ''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>0</sub> - ''y''<sub>1</sub>),}} er produktet {{nowrap|'''u'''&sdot;'''n''' {{=}} ''a''(''x''<sub>0</sub> - ''x''<sub>1</sub>) + ''b''(''y''<sub>0</sub> - ''y''<sub>1</sub>)}}. Benytter man nå at punktet ''Q'' skal ligge på linjen, vil {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''by''<sub>1</sub> + ''c'' {{=}} 0}}. Med denne betingelsen oppfylt, kan avstanden mellom ''P'' og linjen skrives på den enklere formen

: <math> d = {ax_0 + by_0 + c\over \sqrt{a^2 + b^2}} </math>

Herav ser man også direkte at om ''P'' ligger på selve linjen, er avstanden lik null. På samme måte er den positiv eller negativ avhengig om punktet ligger over eller under linjen. 

Dette resultatet kan direkte generaliseres til å gjelde for avstanden mellom et punkt og et [[plan (matematikk)|plan]] i tre dimensjoner eller mellom et punkt og et [[plan (matematikk)#Generaliseringer|hyperplan]] i et rom med høyere dimensjoner