Redigerer Konform avbilding (avsnitt)

==Komplekse funksjoner==
[[Fil:Biholomorphism illustration.svg|right|thumb|240px|Under en typisk, kompleks avbildning som ''z'' &rarr; ''e<sup>z</sup>'' bevares vinkler mellom linjer.]]

Konforme transformasjoner i ''N'' = 2 dimensjoner er av spesiell stor betydning. Det kommer klart frem ved å betrakte en slik transformasjon {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' &rarr; ''u<sup>&mu;</sup>''(''x'')}} som involverer koordinater  {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''x,y'')}} og {{nowrap|''u<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''u,v'')}} i to euklidske plan.<ref name = TL-2/> Da er

: <math>\begin{align} d\sigma^2 &= du^2 + dv^2 \\ &= \left[\Big({\partial u\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial x}\Big)^2\right]dx^2  + \left[\Big({\partial u\over\partial y}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial y}\Big)^2\right]dy^2\\ &+ 2 \left({\partial u\over\partial x}{\partial u\over\partial y} + {\partial v\over\partial x}{\partial v\over\partial y}\right) dx dy \end{align} </math>

For at dette skal være proporsjonalt med  ''ds''<sup>&thinsp;2</sup> = ''dx''<sup>&thinsp;2</sup> + ''dy''<sup>&thinsp;2</sup>, må derfor de to funksjonene {{nowrap|''u'' {{=}} ''u''(''x,y'')}} og {{nowrap|''v'' {{=}} ''v''(''x,y'')}} oppfylle betingelsene

: <math> \Big({\partial u\over\partial x}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial x}\Big)^2 = \Big({\partial u\over\partial y}\Big)^2 + \Big({\partial v\over\partial y}\Big)^2 = k^2(x,y) </math> 

sammen med

: <math> {\partial u\over\partial x}{\partial u\over\partial y} + {\partial v\over\partial x}{\partial v\over\partial y} = 0 </math>

I denne siste ligningen kan man sette {{nowrap|''&part;u''&thinsp;/''&part;x'' {{=}} ''&epsilon;''&thinsp;''&part;v''&thinsp;/''&part;y''}} hvor ''&epsilon;'' er en ukjent størrelse. Den gir da at  {{nowrap|''&part;v''&thinsp;/''&part;x'' {{=}} -''&epsilon;''&thinsp;''&part;u''&thinsp;/''&part;y''}}. Kombineres dette med de to første betingelsene, ser man at {{nowrap|''&epsilon;''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} 1}}. Det finnes derfor uendelig mange konforme transformasjoner i to dimensjoner kun gitt ved disse to kravene til deres deriverte.<ref name = TL-2/>

===Cauchy-Riemanns ligninger===
Når ''&epsilon;'' = 1, er kravet for en konform avbildning at

: <math> {\partial u\over\partial x} = {\partial v\over\partial y}, \;\;\; {\partial u\over\partial y} = - {\partial v\over\partial x} </math>

Dette er [[Cauchy–Riemanns ligninger]] for en [[kompleks analyse|kompleks funksjon]] ''w''(''z'') = ''u''(''x,y'') + ''iv''(''x,y'') hvor ''z'' = ''x'' + ''iy'' er den [[komplekst tall|komplekse]] variable. Enhver slik analytisk funksjon {{nowrap|''w'' {{=}} ''f''(''z'')}} gir derfor opphav til en konform avbildning i det komplekse planet. En spesielt viktig rolle har [[Möbius-transformasjon]]er som overfører linjer og sirkler på linjer og sirkler.

I det motsatte tilfelle med {{nowrap|''&epsilon;'' {{=}} -1}} vil man på samme vis ha en konform transformasjonen <math> z \rightarrow f(z^*) </math> hvor den kompleks konjugerte variable er <math> z^* = x - iy </math>. Dette er en antiholomorf transformasjon som tar en figur med en viss orientering til en tilsvarende figur med motsatt orientering. Dette skjer for eksempel ved [[Sirkelinversjon#Komplekse koordinater|sirkelinversjon]] i planet.

De to funksjonene ''u'' = ''u''(''x,y'') og ''v'' = ''v''(''x,y'') som gir konforme avbildninger i to dimensjoner, er [[harmonisk funksjon|harmoniske funksjoner]].  Det følger direkte fra  Cauchy–Riemanns ligninger som gir at

: <math> {\partial^2 u\over\partial x^2}= {\partial^2 v\over\partial y\partial x} = - {\partial^2 u\over\partial y^2}</math>

Derfor oppfyller begge funksjonene [[Laplace-ligningen]] <math> \nabla^2\Phi = 0 </math> i to dimensjoner. Den opptrer også i mange forskjellige anvendelser, for eksempler innen [[elektrostatikk]]en for det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]]. Beregnes dette i et bestemt område i to dimensjoner, kan man da med en kompleks transformasjon finne det i et annet område med en forskjellig, geometrisk form.<ref name = Churchill> R.V. Churchill, ''Complex Variables and Applications'', McGraw–Hill, New York (1974). ISBN 978-0-07-010855-4.</ref>

===Kompleks avbildning er vinkeltro===

En [[kurve]] i det komplekse planet kan generelt skrives som ''z''(''t''&thinsp;) = ''x''(''t''&thinsp;) + ''iy''(''t''&thinsp;) der ''t'' er dens reelle parameter. Under en kompleks transformasjon ''z'' &rarr; ''f''(''z''&thinsp;) vil den avbildes på en ny kurve ''w''(''t''&thinsp;) = ''f''(''z''(''t''&thinsp;). Dens retning er gitt ved [[tangent (matematikk)|tangentvektoren]]

: <math> {dw\over dt} = f'(z) {dz\over dt} </math>

Hvis man skriver den opprinnelige tangenten som <math> dz/dt = |dz/dt| e^{i\theta}, </math> har den en vinkel ''&theta;'' med ''x''-aksen. Kalles den tilsvarende vinkelen for den transformerte tangenten for ''&theta;'&thinsp;'', vil derfor denne være {{nowrap|''&theta;'&thinsp;'' {{=}} ''&theta;'' + ''&psi;''}} når man på samme vis skriver <math> f'(z) = |f'(z) | e^{i\psi}. </math> Retningen til den opprinnelige tangentvektoren blir dermed dreidd en vinkel ''&psi;'' som er uavhengig av kurven og gitt ved transformasjonen alene. Skjærer to kurver derfor hverandre i et punkt ''z''<sub>0</sub>, vil begge deres tangentvektorer dreies like mye under avbildningen. Dermed forblir vinklene mellom dem uforandret under transformasjonen.<ref name = TL-2/>