Redigerer Kinetisk energi (avsnitt)

==Newtons mekanikk==

Når en konstant kraft ''F'' virker på tyngdepunktet til et legeme slik at det beveger seg en veilengde ''s'', har kraften per definisjon utført [[arbeid (fysikk)|arbeidet]] {{nowrap|''W {{=}} Fs''}}. Men ifølge [[Newtons andre lov]] har denne kraften også gitt legemet en [[akselerasjon]] {{nowrap|''a {{=}} F/m''}} når det har massen ''m''. Hvis kraften starter å virke ved tiden {{nowrap|''t'' {{=}} 0}} når legemet er i ro, vil det etter en tid ''t'' ha fått en hastighet {{nowrap|''v {{=}} at''}} og derved [[bevegelsesligning|beveget]] seg en distanse {{nowrap|''s'' {{=}} (1/2)''at''<sup>&thinsp;2</sup>}} i den retningen kraften virker. Ut fra definisjonen vil da legemets kinetiske energi ''E<sub>kin</sub>'' være lik med det arbeidet som kraften har utført i samme tidsrom, det vil si

: <math> E_{kin} = W = Fs =  m a \cdot \frac 1 2 a t^2 = \frac 1 2 m v^2 </math>

Den kinetiske energien for en samling av flere partikler er lik med summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene.

===Translasjonsenergi===

Mer generelt kan man betrakte en kraft '''F''' som virker på en partikkel med masse ''m''. Beveger den seg med hastigheten '''v''', har den da en [[bevegelsesmengde]] (impuls) {{nowrap|'''p''' {{=}} ''m''&thinsp;'''v'''}}. [[Newtons andre lov]] kan da skrives som {{nowrap|''d''&thinsp;'''p'''/''dt'' {{=}} '''F'''}}.

Virker denne kraften over et infinitesemalt tidsrom ''dt'', vil partikkelen forflyttes en liten veilengde ''d''&thinsp;'''x''' = '''v'''''dt''. Dermed er det utført et lite arbeid<ref name="Tipler">P. Tipler, ''Physics for Scientists and Engineers'', W. H. Freeman, New York (2004). ISBN 0-7167-0809-4.</ref>

:<math> \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = \frac{d \mathbf{p}}{d t} \cdot \mathbf{v} d t = \mathbf{v} \cdot d \mathbf{p}  </math>

som øker partikkelens kinetiske energi.  Her kan man nå skrive {{nowrap|'''v'''&sdot;''d'''''p''' {{=}} (''m''/2)''d''('''v'''&sdot;'''v''')}} =  {{nowrap|(''m''/2)''dv''<sup>2</sup>}}. Virker kraften over et endelig tidrom ''t'', får partikkelen derved en kinetisk energi

:<math> E_{kin} = \int_0^t \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = {m\over 2} \int_0^v dv^2 = \frac{1}{2}mv^2  </math>

når den ved tiden ''t'' = 0 har hastigheten ''v'' = 0. Denne måten å beregne kinetiske energi kan også benyttes når partikkelen beveger seg så raskt at [[Newtons bevegelseslover|Newtons mekanikk]] ikke gjelder lenger, men må erstattes med [[relativitetsteori|relativistisk mekanikk]].

===Relativ bevegelse===

Hvis en samling av partikler med masser ''m<sub>i</sub>'' befinner seg i et referansesystem hvor de beveger seg med hastighetene '''v'''<sub>''a''</sub>, er deres totale translasjonsenergi 

: <math> E_{kin} = \sum_a {1\over 2} m_a\mathbf{v}^2_a </math>

[[Tyngdepunkt]]et til partiklene beveger seg da med hastigheten '''V''' bestemt ved ligningen<ref name = Lien/>

: <math> M\mathbf{V} =  \sum_a m_a\mathbf{v}_a </math>

hvor ''M'' er summen av alle massene til partiklene. Relativt til et referansesystem som følger med tyngdepunktet, vil hver partikkel ha en hastighet  {{nowrap|'''u'''<sub>''a''</sub> {{=}} '''v'''<sub>''a''</sub> - '''V'''}}. Den kinetiske energien kan nå skrives som 

: <math> E_{kin} = \sum_a {1\over 2} m_i(\mathbf{u}_a + \mathbf{V})^2 =  \sum_a {1\over 2} m_a\mathbf{u}^2_a + \mathbf{V}\cdot\sum_i m_a\mathbf{u}_a  
                    + {1\over 2}V^2\sum_im_i  </math>

Det første leddet er den kinetiske energien ''E<sub>CM</sub>&thinsp;'' som partiklene har i referansesystem hvor tyngdepunktet er i ro. I siste ledd gir summen over alle massene den totale massen ''M'', mens det midtre leddet er null ut fra definisjonen til den relative hastigheten '''u'''<sub>''a''</sub>. Dermed har man det viktige resultatet

: <math> E_{kin} = E_{CM} + {1\over 2}MV^2 </math>

for den totale kinetiske energien. En tilsvarende formel kan også utledes i relativistisk mekanikk. Massesenteret er da bestemt ut fra impulsene til hver av partiklene, ikke lenger av deres hastigheter slik som her i Newtons mekanikk.

===Rotasjonsenergi===

Hvis alle partiklene i en slik samling er i felles bevegelse som skyldes en rotasjon med [[rotasjonshastighet|omdreiningshastighet]] '''&omega;''', vil hver partikkel bevege seg med hastighet  {{nowrap|'''v'''<sub>''a''</sub> {{=}} '''&omega;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''r'''<sub>''a''</sub>&thinsp;}} når den har en posisjonsvektor '''r'''<sub>''a''</sub> i referansesystemet som benyttes. Størrelsen til denne hastigheten kan skrives som |'''v'''<sub>''a''</sub>&thinsp;| = ''&omega;&rho;<sub>a</sub>'' hvor ''&rho;<sub>a</sub>'' er avstanden til partikkelen fra rotasjonsaksen. Den kinetiske energien for bevegelsen er da<ref name="Irgens">F. Irgens, ''Dynamikk'',  Tapir, Trondheim (1999). ISBN 82-519-1500-7.</ref>

: <math> E_{kin} = {1\over 2}\sum_a m_a (\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_a)^2 
                         = {1\over 2}\omega^2 \sum_a m_a  \rho_a^2 =  {1\over 2}I\omega^2 </math>

hvor ''I&thinsp;'' er [[treghetsmoment]]et til alle partiklene om rotasjonsaksen definert ved '''&omega;'''. Dette vil opplagt være avhengig av retningen til denne i forhold til punktenes posisjoner og må regnes ut for hver ny rotasjonsakse.

For å unngå dette, kan man alternativt skrive ut kvadratet av [[kryssprodukt]]et som gir 

: <math> E_{kin}  = {1\over 2}\sum_a m_a (\omega^2r_a^2 - (\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{r}_a)^2)  </math>

I et [[kartesisk koordinatsystem]] blir dette gitt ved den dobbelte summen

: <math> E_{kin} = {1\over 2} \sum_{i,j} I_{ij} \omega_i \omega_i </math>

hvor summasjonene går over de tre kartesiske retningene, og 

: <math>  I_{ij} = \sum_a m_a( r_a^2 \delta_{ij} - x_{ai}x_{aj})</math>

er «treghetstensoren». Her er ''x<sub>ai</sub>&thinsp;'' ''i''-te komponent av vektoren '''r'''<sub>''a''</sub> og ''&delta;<sub>ij</sub>&thinsp;'' er [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]]. 

Da komponentene til treghetstensoren danner en [[symmetrisk matrise]], kan man alltid finne et koordinatsystem hvor den bare har diagonale komponenter ''I<sub>x</sub>'', ''I<sub>y</sub>'' og ''I<sub>z</sub>''. For et stift legeme kan nå disse regnes ut en gang for alle og benyttes uavhengig av rotasjonsretning. 

I dette  spesielle «hovedaksesystemet» kan da rotasjonsenergien skrives på den forenklete formen<ref name = Irgens/>

: <math> E_{kin} = {1\over 2}I_x \omega_x^2 + {1\over 2}I_y \omega_y^2 + {1\over 2}I_z \omega_z^2 </math>

hvor ''&omega;<sub>x</sub>'', ''&omega;<sub>y</sub>'' og ''&omega;<sub>z</sub>''&thinsp; er de kartesiske komponentene til vinkelhastigheten '''&omega;'''&thinsp; i det samme koordinatsystemet.