Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

==Bohr-Sommerfeld-kvantisering==

I den første versjonen av [[Bohrs atommodell]] inngikk antagelsen om sirkulære baner for elektronet. Men da [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] avtar omvendt proporsjonalt med avstanden på samme måte som [[Newtons gravitasjonslov|Newtons gravitasjonskraft]], vil elektronet også kunne bevege seg i [[ellipse]]baner omkring atomkjernen på samme måte som planetene omkring [[Solen]] og beskrevet ved [[Keplers lover]]. Rundt 1916 begynte derfor Bohr, [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] og andre å benytte metoder i atomfysikken som ligner de som brukes i [[himmelmekanikk]]en. Denne mer generelle fremgangsmåten  er i ettertid blitt kalt for [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]].<ref name = Sommerfeld> A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', I. Band, 8. Auflage, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).</ref>

Elektronet i hydrogenatomet tenkes å bevege seg i et plan hvor dets posisjon kan angis ved [[polarkoordinatsystem|polare koordinater]] (''r,&phi;''). Ser man bort fra atomkjernens endelig masse, har elektronet da en hastighet '''v''' = ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''&thinsp; og dermed en [[kinetisk energi]]

: <math> K = {1\over 2}m_e \mathbf{v}^2 = {1\over 2}m_e \Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\Big) </math>

hvor prikken over ''r'' og ''&phi;'' indikerer derivasjon med hensyn på tiden. I tillegg har elektronet en [[potensiell energi]] {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''&thinsp;}}  som også varierer med tiden. Men totalenergien {{nowrap|''E {{=}} K + V''}} er konstant under denne bevegelsen. Her er det antatt at atomkjernen har ladning ''Ze'' i det mer generelle tilfellet. Vanlig hydrogen har ladningstall ''Z'' = 1. Atomet under betraktning kan derfor være et [[helium]] [[ion]] He<sup>+</sup>&thinsp; for ''Z'' = 2, et dobbeltionisert [[litium]]atom Li<sup>++</sup>&thinsp; for ''Z'' = 3 etc.

Ved bruk av [[Lagrange-mekanikk]] har elektronet to «kanoniske impulser» gitt som

: <math> p_r = {\partial K\over\partial\dot{r}} = m_e \dot{r}, \;\; p_\phi = {\partial K\over\partial\dot{\phi}} = m_er^2\dot{\phi} </math>

Her er ''p<sub>&phi;</sub>&thinsp;'' ikke noe annet enn størrelsen av elektronets [[dreieimpuls]] ''m<sub>e</sub>''&thinsp;'''r'''&times;'''v''' og er konstant da den kinetiske energien er uavhengig av vinkelen ''&phi;''. Dette tilsvarer konstant «flatehastighet» for en planet som følger [[Keplers lover|Keplers andre lov]]. Uttrykt ved disse impulsene, tar derfor den totale energien til elektronet formen

: <math> E = {p_r^2\over 2m_e} + {p_\phi^2\over 2m_e r^2} - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} </math>

Bevegelsesligningene for elektronet kan herav utledes og løses. Men i denne [[kvanteteori]]en er det bare spesielle baner som er tillatte. De finnes ved [[kvantisering (fysikk)|kvantisering]] av den klassiske bevegelsen.

===Kvantebetingelser===
[[Fil:BS-states-1.jpg|thumb|360px|De tre innerste banene i H-atomet angitt ved kvantetallene (''n,k'') ved bruk av Bohr-Sommerfeld-kvantisering.]]
[[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]] er en «halvklassisk» metode for å gi et mekanisk system egenskaper som er i overensstemmelse med [[kvanteteori]]en. Man beregner den klassiske bevegelsen til systemet og pålegger så disse løsningene bestemte kvantebetingelser. Fremgangsmåten var en generalisering av [[Bohrs atommodell]] for hydrogenatomet, med viste seg snart å ikke kunne benyttes for atomer med flere elektroner. Dette førte til oppdagelsen av moderne [[kvantemekanikk]] i 1925.

Den klassiske bevegelsen til elektronet i hydrogenatomet er periodisk der det følger en [[ellipse]]bane. Bohr-Sommerfeld-kvantisering sier at de tillatte banene må oppfylle at integralene av de kanoniske impulsene rundt hver bane skal være et helt multiplum av Plancks konstant, det vil si

: <math> \oint\! d\phi\, p_\phi = n_\phi h, \;\;   \oint\! dr\, p_r = n_r h</math>

Her er ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp; og ''n<sub>r</sub>''&thinsp; positive heltall. De karakteriserer de tillatte banene og opptrer som [[kvantetall]] i den videre beskrivelsen.<ref name = Sommerfeld/>

Da dreieimpulsen  ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; er konstant, kan den tas utenfor i det første integralet. Det reduseres dermed til 2''&pi;''&thinsp; da den asimutale vinkel varierer mellom  ''&phi;'' = 0 til 2''&pi;''&thinsp; for en full periode. Den første betingelsen gir derfor ganske enkelt at {{nowrap|''p<sub>&phi;</sub>'' {{=}} ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp;''ħ''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;''&thinsp;}} er den [[Plancks konstant|reduserte Planck-konstanten]]. Innsatt i uttrykket for totalenergien til elektronet, finner man da for den radielle impulsen

: <math> p_r = \pm\sqrt{2m_e E - {p_\phi^2\over r^2} +  {Ze^2 m_e\over 2\pi\varepsilon_0 r}} </math>

som nå bare avhenger av radius ''r''. Det øverste fortegnet beskriver den del av bevegelsen der radius øker og det nederste der den avtar. Det tilsvarer at elektronet beveger seg mellom en minimal avstand ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' og en maksimal avstand ''r<sub>max</sub>&thinsp;'' fra atomkjernen. Disse vendepunktene tilsvarer at  {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0&thinsp;}} og kan uttrykkes ved store ''a'' og lille halvakse ''b'' til [[ellipse]]n.

Den radielle integrasjonen i den andre kvantebetingelsen kan nå utføres med et resultat som kan skrives på formen<ref name = Sommerfeld/> 

: <math>  E = - {(\alpha Z)^2 m_e c^2\over 2 (n_\phi + n_r)^2} </math>

Det gir eksakt samme energinivå som Bohrs formel når ''Z'' = 1, men med den viktige forskjell at hovedkvantetallet nå består av summen {{nowrap|''n'' {{=}}  ''n<sub>&phi;</sub>'' +  ''n<sub>r</sub>''&thinsp;}}. Baner med forskjellige kvantetall kan derfor ha samme energi. De sies i så fall å være '''degenererte''' med hverandre.

===Kvantiserte baner===
[[Fil:Hydrogen energy levels.png|thumb|400px|Energinivå i H-atomet etter Bohr-Sommerfeld- kvantisering. Hvert nivå er degenerert da energien er uavhengig av kvantetallet ℓ = ''k'' - 1 som angir formen til ellipsen som elektronet følger.]]
Kvantetallene ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp; og ''n<sub>r</sub>''&thinsp; angir størrelsen og formen til de tillatte banene. Den følger fra største og minste avstand som elektronet har fra atomkjernen og er definert ved at {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0.}} Disse radiene er henholdsvis ''r<sub>max</sub>&thinsp;'' og ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' og kan finnes som de to løsningene av [[andregradsligning]]en

: <math> 2m_e Er^2  +  {Ze^2 m_e r\over 2\pi\varepsilon_0} = (k\hbar)^2 </math>

etter å ha satt det asimutale kvantetallet til Sommerfeld ''n<sub>&phi;</sub>'' = ''k&thinsp;'' i den notasjon som Bohr gjorde bruk av.<ref name = Pais/> 

Ved å benytte den geometriske sammenhengen ''r<sub>min</sub>'' + ''r<sub>max</sub>'' = 2''a'', har man da for den store halvaksen i ellipsen

: <math> a = n^2 {a_0\over Z} </math>

hvor ''a''<sub>0</sub>&thinsp; er Bohr-radiusen. Denne aksen avhenger kun av hovedkvantetallet ''n''. Størrelsen av ellipsen avtar som ventet med økende kjerneladning ''Z'' da elektronet da vil bli trukket sterkere inn mot den.

På samme måte kan den mindre halvakse ''b'' finnes. Er ''c'' avstanden fra atomkjernen til sentrum i ellipsen, vil {{nowrap|''b''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}}  ''a''<sup>&thinsp;2</sup> -  ''c''<sup>&thinsp;2</sup>}} = {{nowrap|(''a'' - ''c'')&sdot; (''a'' + ''c'') {{=}}  ''r<sub>min</sub>''&sdot; ''r<sub>max</sub>''.}} Dette produktet kan igjen leses direkte ut av ligningen og gir

: <math> b = {k\over n}a </math>

Nå er hovedkvantetallet ''n'' = ''n<sub>r</sub>'' + ''k'' slik at sirkulære baner der ''b'' = ''a'', vil ha en maksimal verdi ''k'' = ''n&thinsp;'' for det asimutale kvantetallet. Det betyr igjen at  {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} 0&thinsp;}} for disse banene. Da {{nowrap|''n'' &ge; 1}}, må derfor også {{nowrap|''k'' &ge; 1}}. 

[[Fil:Grotrian_H.svg|left|thumb|400px|Diagram som viser noen overganger i hydrogenatomet som er i overensstemmelse med Bohrs utvalgsregel &Delta;ℓ {{=}} &plusmn;1.]]
Betegnes de tillatte banene med kvantetallene (''n,k''), tilsvarer det laveste energinivået den sirkulære banen (1,1). Det nest laveste nivået ''n'' = 2, vil da oppstå i de to banene (2,2) og (2,1) hvorav den første er en sirkel og den andre en ellipse. Dette nivået er derfor degenerert. Slik fortsetter det videre i de høyere nivåene med en stadig økende degenerasjon.

Hvis ''k'' = 0 hadde vært tillatt, ville det ha tilsvart at elektronet beveget seg uten dreieimpuls på en rette linje gjennom atomkjernen. I denne halv-klassiske modellen var dette antatt å være umulig. Men i moderne [[kvantemekanikk]] er dreieimpulsen gitt ved det orbitale kvantetallet {{nowrap|ℓ {{=}} ''k'' - 1}} som kan ha verdien {{nowrap|ℓ {{=}} 0}}. I et klassiske bilde betyr det at elektronet da likevel har en mulighet til å gå inn i kjernen til atomet.<ref name = Sommerfeld/> 

Ut fra historiske grunner er det vanlig å kalle tilstander med ℓ = 0 for ''s''-tilstander, ℓ = 1 for ''p''-tilstander, ℓ = 2 for ''d''-tilstander og så videre som brukt i dag ved omtale av kvantememekaniske tilstander i hydrogenatomet.<ref name = HW/>

Ut fra sitt  [[Bohrs atommodell#Bohrs postulater|korrespondanseprinsipp]] hadde Bohr utledet at ikke alle overganger mellom disse nye energinivåene var tillatt. Et elektron kunne fremdeles «hoppe» fra et nivå med hovedkvantetall ''n'' til et vilkårlig annet nivå med mindre verdi av dette, men de linjene med minst forandring {{nowrap|&Delta;''n'' &ge; 1 vil}} være de lyssterkeste. Derimot kan de orbital kvantetallet bare forandre seg i stepp {{nowrap|&Delta;ℓ {{=}} &plusmn;1}}. Dette er et eksempel på en '''utvalgsregel'''. For eksempel, så kan derfor Lyman-alfalinjen bare fremkomme på den ene måte {{nowrap|2p &rarr; 1s}}, mens den første Balmer-linjen H<sub>&alpha;</sub> kan oppstå på de tre måtene {{nowrap|3p &rarr; 2s}}, {{nowrap|3d &rarr;2p}} og {{nowrap|3s &rarr; 2p}}. Den består derfor av tre sammenfallende linjer i denne beskrivelsen. Men dette var i konflikt med meget presise observasjoner som [[Albert Abraham Michelson|Albert Michelson]] hadde gjort allerede i 1887 og som viste at linjen i virkeligheten besto av to linjer som lå like ved siden av hverandre.