Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

===Relativistiske partikler===

For partikler som beveger seg med hastigheter som nærmer seg [[lyshastighet]]en ''c'',  kan det ikke uten videre finnes en enkel Hamilton-operator. Men for ikke altfor høye hastigheter kan man benytte det [[Spesiell relativitetsteori#Relativistisk impuls|approksimative uttrykket]] 

: <math> H = \sqrt{m^2c^4 + \mathbf{p}^2 c^2} = mc^2 + {\mathbf{p}^2\over 2m} - {\mathbf{p}^4\over 8m^3c^2} + \cdots </math>

for Hamilton-funksjonen når  impulsen ''p'' < ''mc''. Den relativistiske korreksjonen proporsjonal med '''p'''<sup>4</sup> vil dermed gi opphav til et ledd med '''&nabla;'''<sup>&thinsp;4</sup> i den resulterende Hamilton-operatoren og kan beregnes ved  kvantemekanisk [[Kvantemekanisk perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]].<ref name = Griffiths/>

En mer fundamental beskrivelse kan gis for en partikkel med [[spinn]] ''s'' = 1/2 ved bruk av [[Dirac-ligning]]en. Bølgefunksjonen &Psi;(''t&thinsp;'') må da utvides til å bli en ''spinor'' med fire komponenter. Når partikkelen befinner seg i et ytre potensial, kan dens kvantemekaniske egenskaper på den måten finnes ved bruk av Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} =  c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p} + \beta mc^2 + V(\mathbf{x}) </math>

hvor '''&alpha;''' =  (''&alpha;<sub>x</sub>'', ''&alpha;<sub>y</sub>'', ''&alpha;<sub>z</sub>'') og ''&beta;&thinsp;'' er fire 4&times;4 [[matrise]]r og impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Men denne Hamilton-operatoren har også egenverdier for energien som kan være negative.  Slike løsninger av Dirac-ligningen betyr at den også beskriver [[antipartikkel|antipartikler]] og derfor ikke lenger er en énpartikkel-ligning.<ref name = Gross> F. Gross, ''Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1993). ISBN 0-471-59113-0.</ref>