Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

==Definisjon==

Arbeidet til Dirac viste også hvordan overgangsamplituden kan beregnes når tidsforskjellen mellom de to ytterpunktene er endelig. Ved å dele den opp i ''N&thinsp;'' like store biter, hver med lengde ''&epsilon;'' &rarr; 0,  kan man benytte det funne resultatet  for hver bit. Innsettes fullstendig sett med egentilstander av posisjonsoperatoren <math> \hat{q}</math> ved hver slik mellomtid, tar denne amplituden dermed formen

: <math>\begin{align} & K(b;a) = \langle q_b,t_b | q_a, t_a\rangle \\ &=  \int\!dq_1\cdots \int\!dq_{N-1}\langle q_b |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_{N-1} \rangle\cdots \langle q_2 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_1 \rangle \langle q_1 |e^{-i\varepsilon\hat{H}/\hbar}| q_a \rangle \end{align} </math>

hvor ''q<sub>N</sub>''  =   ''q<sub>b</sub>''. I grensen der ''&epsilon;'' &rarr; 0 og ''N'' &rarr; &infin; slik at {{nowrap|''N&epsilon;'' {{=}} ''t<sub>b</sub>'' -  ''t<sub>a</sub>&thinsp;''}} forblir endelig, kan nå dette skrives på den kompakte formen
[[Fil:Feynman paths.png|thumb|210px|Veiintegralet som forbinder ''A&thinsp;'' med  et senere punkt ''B'', inneholder veier som alltid beveger seg fremover I tiden.]]

: <math> K(q_b,t_b ; q_a,t_a) = \int\! Dq \, e^{iS[q]/\hbar} </math>

som er Feynmans veiintegral for overgangsamplituden. Eksponenten inneholder

: <math> S[q] = \sum_{k=1}^N \varepsilon L(q_k, q_{k-1}) = \int_{t_a}^{t_b} \! dt L(q,\dot{q}) </math>

når man benytter at ''q<sub>k</sub>'' = ''q''(''t<sub>k</sub>''). Dette er virkningen til partikkelen langs én vei ''q''(''t'') som forbinder de to ytterpunktene til bevegelsen.  Utledningen gir i dette tilfellet integrasjonsmålet 

: <math>  Dq = A^N dq_1 dq_2 \cdots dq_{N-1} </math>

i grensen der ''N&thinsp;'' blir veldig stor. Feynman så i integrasjonen over alle disse mellomliggende koordinatene en effektiv summasjon av alle veier som forbinder begynnelsesposisjonen ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' med sluttposisjonen ''q<sub>b</sub>''. Da sannsynlighetsamplituden for hver vei er proporsjonal med ''e''<sup>''iS''/''ħ''</sup>, vil de alle være like sannsynlige.<ref name = FH> R.P. Feynman and A.R. Hibbs, ''Quantum Mechanics and Path Integrals'', McGraw-Hill, New York (1965).</ref>

Klassiske system er karakteriserte ved å ha virkninger ''S&thinsp;'' som er mye større enn Plancks konstant. Hver delamplitude som inngår i veiintegralet, vil derfor variere svært raskt sammenlignet med amplitudene for nærliggende veier. Tilsammen virker de som ved destruktiv interferrens og gir et forsvinnende bidrag til veiintegralet. Kun de veier som har omtrent samme virkning, vil bidra konstruktivt og bestemmer tidsutviklingen  i den klassiske grensen {{nowrap|''ħ'' &rarr; 0}}. Som en direkte konsekvens av denne kvantemekaniske formuleringen finner man derfor [[Hamiltons virkningsprinsipp]] som styrer all bevegelse i [[klassisk mekanikk]].

===Ikke-relativistisk propagator===

Funksjonen ''K''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'';''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>'') er sannsynlighetsamplituden for at en partikkel som befinner seg i punktet ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' ved tiden ''t<sub>a</sub>&thinsp;'', kan observeres i  ''q<sub>b</sub>&thinsp;'' ved et senere tidspunkt ''t<sub>b</sub>&thinsp;''. Dette er definisjonen av en [[propagator]] i kvantemekanikken. Mer generelt kan den benyttes til å beregne [[bølgefunksjon]]en ''&psi;''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'') for partikkelen ved et senere tidspunkt når den tidligere er gitt som ''&psi;''(''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>''). 
Det følger fra den formelle sammenhengen

: <math> \begin{align} \psi(q_b,t_b) &= \langle q_b|\psi, t_b) = \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|\psi, t_a \rangle  \\ &= \int\!dq_a \langle q_b| e^{-i\hat{H}(t_b - t_a)/\hbar}|q_a\rangle\langle q_a| \psi, t_a \rangle \\ &=  \int\! dq_a K(q_b,t_b;q_a,t_a)\psi(q_a,t_a) \end{align} </math>

Dette integralet representerer den kontinuerlige summen over all veier mellom ''q<sub>a</sub>&thinsp;'' og ''q<sub>b</sub>'', hver vektet med sannsynlighetsamplituden  ''&psi;''(''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>''). Det er analogt med det tilsvarende  [[Kirchhoffs diffraksjonsteori|Kirchhoff-integralet]] som opptrer i beskrivelsen av [[diffraksjon]] basert på  [[Huygens-Fresnels prinsipp]].

For en fri partikkel er potensialet ''V'' = 0. Den tilsvarende propagatoren ''K''<sub>0</sub> kan da beregnes eksakt på samme måte som over et kort tidsrom ''&epsilon;''.  Av den grunn vil den være

: <math>  K_0(q_b, t_b; q_a, t_a) = \left({m\over 2\pi i\hbar(t_b - t_a)}\right)^{1/2} e^{im(q_b - q_a)^2/2\hbar(t_b - t_a)} </math>. 

I eksponenten opptrer virkningen til den klassiske bevegelsen av partikkelen. Den er karakterisert  ved at hastigheten mellom de to punktene har den konstante verdien  ({{nowrap|''q<sub>b</sub>'' - ''q<sub>a</sub>'')/(''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>'')}}. Propagatoren har samme form som løsningen av [[diffusjonsligning]]en med en punktformig kilde, men bevegelsen foregår her i [[Imaginært tall|imaginær]] tid.<ref name = FH/>

===Schrödinger-ligning===

Basert på sin antagelse at overgangsamplituden kunne skrives som et veiintegral, måtte Feynman vise at den var I overensstemmelse med vanlig kvantemekanikk. I praksis betyr det å vise at bølgefunksjonen oppfyller [[Schrödinger-ligning]]en. Dette gjorde han like etter at han hadde møtt Jehle og inngikk senere i hans doktorgradsarbeid.<ref name = Schweber/> Først etter at andre verdenskrig var slutt, ble dette publisert.<ref name = RPF-1948> R.P. Feynman, [https://authors.library.caltech.edu/records/9h858-5hv71 ''Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics''], Rev. Mod. Phys. '''20''' (2), 367–87 (1948).</ref>

Under et kort tidsrom ''t'' &rarr; ''t'' + ''&epsilon;&thinsp;'' forandrer bølgefunksjonen seg fra ''&psi;''(''q'',''t''&thinsp;) til

: <math> \psi(q, t + \varepsilon) = \int\! dq' \, K(q,t + \varepsilon; q', t) \psi(q', t) </math>

Ved å innføre den nye variable ''s'' = ''q' - q'', forvandles  dette integralet til

: <math>\begin{align} & \psi(q, t + \varepsilon) =  A\int_{-\infty}^\infty \! ds \, e^{ims^2/2\hbar\varepsilon}  \\ & \cdot \left(\big[1 -  \varepsilon {i \over \hbar} V(q)\big] \psi(q,t)  +  s{\partial\psi \over \partial q} + {s^2\over 2} {\partial^2\psi \over \partial q^2} \right) \end{align} </math>

når man tar med kun de leddene som bidrar i grensen ''&epsilon;'' &rarr; 0. Alle integralene her kan beregnes fra det elementære [[Gauss-integral]]et. Da kombinasjonen 

: <math> {1\over\varepsilon} \left[\psi(q, t + \varepsilon) - \psi(q, t)\right] =  {\partial\psi \over \partial t}  , </math> 

gir de forskjellige leddene i veiintegralet dermed resullatet

: <math> i\hbar {\partial\psi \over \partial t} = \left[-{\hbar^2\over 2m}  {\partial^2 \over \partial q^2} + V(q)\right] \psi(q,t) </math>

På høyre side opptrer [[Hamilton-operator]]en <math> \hat{H}. </math>  Dette er Schrödinger-ligningen som beskriver den kvantemekaniske bevegelsen til partikkelen i dette tilfellet.

===Greens funksjon===

Fra definisjonen av propagatoren for ''t<sub>b</sub>'' = ''t<sub>a</sub>&thinsp;'' følger at

: <math> K(q_b,t_a;q_a,t_a) = \delta(q_b - q_a) </math>

hvor [[Diracs deltafunksjon]] på høyre side uttrykker at partikkelen i dette tilfellet ikke kan bevege seg i det hele tatt. Propagatoren har derfor en komplisert funksjonsform  når ''t<sub>b</sub>'' nærmer seg ''t<sub>a</sub>''. Denne kan finnes ut fra kravet at bølgefunksjonen ''&psi;''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'') skal oppfylle Schrödinger-ligningen 

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)\psi(q_b,t_b) = 0, \quad t_b > t_a </math>

Dette blir nå en betingelse som også propagatoren må oppfylle på formen

: <math> \left(i\hbar {\partial\over\partial t_b} - \hat{H}_b\right)K(q_b,t_a;q_a,t_a) =  i\hbar\, \delta(t_b - t_a)\delta(q_b - q_a) </math>

Den er derfor en [[Greens funksjon|Green-funksjon]] for Schrödinger-ligningen. Av den grunn kan andre fremgangsmåter benyttes til beregning av propagatoren enn direkte fra veiintegralet.