Redigerer Einsteins oscillatormodell (avsnitt)

==Spesifikk varmekapasitet==

Når man betrakter ett [[mol (enhet)|mol]] med stoff, det vil si med ''N<sub>A</sub>&thinsp;'' molekyler, vil det ifølge Einsteins modell ha en indre energi

: <math> U =  {3 N_A h\nu\over e^{h\nu/k_BT} - 1 } </math>

Ved derivasjon med hensyn på temperaturen blir den spesifikk varmekapasitet nå

: <math> c_V =  3N_A k_B \left({h\nu\over k_BT}\right)^2 {e^{h\nu/k_BT} \over (e^{h\nu/k_BT} - 1)^2 } </math> 

Ved så høye temperaturer at <math> T \gg T_E, </math> gir dette Dulong-Petits verdi <math> c_V = 3R.</math>  Derimot i den motsatte grensen der temperaturen  nærmer seg null, gir Einsteins modell

: <math> c_V  =  3R  \left({h\nu\over k_BT}\right)^2 e^{- h\nu/k_BT}, \quad T \ll T_E </math>

Den spesifikke varmekapasiteten forventes altså å gå eksponensielt mot null ved svært lave temperaturer.<ref name = AE> A. Einstein,  ''Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme'', Annalen der Physik, '''22''', 180–190 (1907). [http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf PDF.] </ref>

På tross av at dette først syntes å være mye bedre i overensstemmelse med målte verdier, ble det snart klart at varmekapasiteten nærmer seg null på en litt annen måte enn hva dette resultatet sier. Dette problemet ble løst i 1912 da [[Peter Debye]] forbedret modellen til Einstein ved å forkaste antagelsen om at alle oscillatorene svinger med samme frekvens. Han viste at når man i stedet antar at molekylene er koblet sammen med identiske, harmoniske krefter, vil de oscillere med frekvenser som i praksis danner et kontinuum. De tilsvarer frekvensene som opptrer når materialet skaper [[lydbølge]]r. I denne [[Debye-modell]]en nærmer varmekapasiteten seg null som ''T''<sup>&thinsp;3</sup> og stemmer enda bedre med observasjonene.<ref name="Goodstein"> D.L. Goodstein, ''States of Matter'', Prentice Hall Inc, New Jersey (1975). ISBN 0-13-843557-X. </ref>

Einstein selv var klar over begrensningene til sin egen modell og understreket også at den ikke kunne forklare hvorfor man ikke kunne se noe bidrag til varmekapasiteten fra [[elektron]]ene i metaller. På den tiden hadde [[Paul Drude]] lansert sin [[Drude-modell|teori]] for ledning av elektrisk strøm basert på antagelsen at metaller inneholder elektroner som kan bevege seg fritt bortsett fra skjeldnere kollisjoner med krystallgitteret. Dette problemet ble først løst flere år senere da det ble klart at elektroner ikke følger klassisk [[Maxwell-Boltzmann statistikk]], men må beskrives med kvantemekanisk [[Fermi-Dirac statistikk]].