Redigerer Clausius-Clapeyrons ligning (avsnitt)

==Utledning==

Clapeyron var den første som fremstilte en [[Carnot-prosess]] som en lukket kurve i et ''PV''-diagram. Den består av to [[isoterm]]e forandringer mellom to [[adiabatisk prosess|adiabatiske]] overganger der systemet er varmeisolert fra omgivelsene. Denne prosessen var anvendt på [[dampmaskin]]er hvor den arbeidende substans er [[vanndamp]]. Det var derfor naturlig å betrakte en slik syklisk prosess når de to isotermene hadde nærliggende temperaturer ''T'' og ''T'' + &Delta;''T&thinsp;'' samtidig som substansen besto av vann og damp i termisk likevekt. Denne ville da ha konstante trykk ''P&thinsp;'' og ''P'' + &Delta;''P&thinsp;'' langs de to isotermene.<ref name = Clapeyron>E. Clapeyron, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336791/f157.item ''Meḿoire sur la Puissance Motrice de la Chaleur''], Journal de l'École Polytechnique '''14''', 153–190 (1834).</ref>

Man kan nå betrakte en syklisk Carnot-prosess hvor denne vanndampen går fra vann (ℓ) til gass (''g'') langs isotermen ''P'' + &Delta;''P&thinsp;'' og så tilbake langs isotermen ''P&thinsp;'' med den litt lavere temperatur ''T''. Det utførte arbeidet i prosessen er da

: <math>\begin{align} \Delta W &= \oint_{V_\ell}^{V_g} P dV =  \Delta P(V_g - V_\ell) \\ &= n\Delta P(v_g - v_\ell)  \end{align}</math> 

når substansen inneholder ''n'' [[mol (enhet)|mol]] og ''v''<sub>''g'',ℓ&thinsp;</sub> er de tilsvarende [[Molart volum|molare volumene]].  Bidraget til arbeidet fra de adiabatiske overgangene er så små at de kan neglisjeres når &Delta;''T&thinsp;'' er tilstrekkelig liten. Virkningsgraden for prosessen følger fra [[Carnots teorem]] som

: <math>  {\Delta W\over \Delta Q} = {\Delta T\over T} </math> 

hvor &Delta;''Q&thinsp;'' er den tilførte varmen. Den kan uttrykkes ved den molare [[fordampningsvarme]]n ''L&thinsp;'' som {{nowrap|&Delta;''Q'' {{=}} ''nL''}}. Dermed har man sammenhengen

: <math> {dP\over dT} = {L\over T(v_g - v_\ell)} </math>

i grensen der &Delta;''T'' &rarr; 0. Den kalles ofte for '''Clapeyrons ligning''' som han i 1834 kom frem til på denne måten.<ref name = Sears/>

===Kjemisk potensial===

Når to faser av et stoff er i termisk likevekt ved et visst trykk, er deres [[Gibbs fri energi]] et minimum. Det er ekvivalent med at det [[Kjemisk potensial|kjemiske potensialet]] ''&mu;&thinsp;'' må være det samme i de to fasene. For likevekt mellom gass og væske har man dermed

: <math> \mu_g(P,T) =  \mu_\ell(P,T) </math>

Denne betingelsen gjelder også ved temperatur ''T'' + ''dT&thinsp;'' og trykk ''P'' + ''dP''. Fra [[Gibbs fri energi#Gibbs-Duhem-ligningen|Gibbs-Duhem-ligningen]] har man nå 

: <math> \mu(P + dP, T + dT) - \mu(P,T) = vdP - sdT </math>

slik at likevektsbetingelsen tar formen <math>  \mu_g(P,T) + v_gdP - s_gdT =  \mu_\ell(P,T) + v_\ell dP - s_\ell dT. </math> Det betyr at 

: <math> {dP\over dT} = {s_g - s_\ell\over v_g - v_\ell} = {\Delta s\over \Delta v} </math>

hvor entropidifferansen ''s<sub>g</sub>'' - ''s''<sub>ℓ</sub> = ''L''/''T&thinsp;'' ut fra definisjonen av fordampningsvarmen. Denne utledningen gjør det klart at tilsvarende Clapeyron-ligninger vil også gjelde for overgangene fra den faste fasen til gass eller væske der andre verdier vil opptre på høyresiden.<ref name = Hemmer>P.C. Hemmer, ''Termisk Fysikk'', Tapir Forlag, Trondheim (1989). ISBN 82-519-0929-5.</ref>