Redigerer Pytagoras’ læresetning (avsnitt)

== Historie ==

Opphavet og historien til Pytagoras’ teorem har gjennom tidene skapt mye diskusjon, og mange teorier er fremsatt. Det kan være vanskelig å skille mellom fakta, tolkninger, grunngitte hypoteser og rene gjetninger. Kanskje har kunnskapen om sammenhengen mellom trekantsidene oppstått på ulike steder til ulike tider, uavhengig av hverandre.

Samtidig har mye kunnskap også blitt utvekslet på tvers av landegrenser og tidsepoker, uten at vi i dag har kjennskap til dette.  At en forståelse av teoremet har eksistert svært lenge før Pytagoras levde og virket, er nå allment akseptert.<ref name="AH26">[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.26 </ref><ref>{{Kilde artikkel|tittel=Pythagoras: Everyone knows his famous theorem, but not who discovered it 1000 years before him|publikasjon=Journal of Targeting, Measurement and Analysis for Marketing|doi=10.1057/jt.2009.16|url=https://doi.org/10.1057/jt.2009.16|dato=2009-09-01|fornavn=|etternavn=|serie=3|språk=en|bind=17|sider=229–242|issn=1479-1862|besøksdato=2023-10-05}}</ref> Antagelig har forståelsen for teoremet vokst fram gjennom ulike stadier: en oppfatning av en rett vinkel, kunnskap om pytagoreiske tripler, kjennskap til sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, kjennskap til sammenhengen mellom trekantvinkler og endelig teoremets bevis.

Det er verdt å være oppmerksom på at bruk av begrep som «Pytagoras’ teorem» og «bevis» i forbindelse med oldtidens matematikk lett kan skape feil inntrykk. Et utsagn som «xxx hadde et bevis for Pytagoras teorem tusen år før Pytagoras» kan som regel møtes med mange spørsmål, både når det gjelder kildebruk, tidsbestemmelse, formen på «teoremet» og kvaliteten av «beviset».  

=== I forhistorisk matematikk ===
Oppmåling av europeiske og egyptiske [[Megalittiske monument|megalittiske monumenter]] fra ca. 2500 år f.Kr. har ført til at det er framsatt teorier om at steinene i disse monumentene er plassert i former basert på rettvinklede trekanter med heltalssider.<ref>{{Kilde www|url=http://hyperion.cc.uregina.ca/~astro/Mega_circ.html |tittel=Megalithic monuments |besøksdato=2010-01-17|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20110706211316/http://hyperion.cc.uregina.ca/%7Eastro/Mega_circ.html|arkivdato=2011-07-06|url-status=død}}</ref> Den nederlandske matematikeren [[Bartel Leendert van der Waerden]] gjetter på at de involverte pytagoreiske triplene ble funnet algebraisk.<ref>[[#WAE| B.L. van der Waerden: ''Geometry and algebra ...'']] s.??</ref>

=== I babylonsk matematikk ===
{{utdypende|Babylonsk matematikk}}
[[Fil:Plimpton 322.jpg|thumb|Plimpton 322 med en tabell for pytagoreiske tripler]]
Funn av steintavler fra viser at [[Babylon|babylonerne]] var godt fortrolige med ulike former for algebra, inkludert beregning av pytagoreiske tripler.<ref name=AH21>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.21ff </ref>  
Det har vært spekulert i hva babylonerne brukte de pytagoreiske triplene til, og en mulighet kan ha vært i løsning av systemer av andregradsligninger med to ukjente.  
Babylonerne var også kjent med sammenhengen mellom en rettvinklet trekant og pytagoreiske tripler.  

En svært viktig kilde til kunnskap er [[kileskrift]]tavlen [[Plimpton 322]] fra [[Mesopotamia]], skrevet i perioden 1822-1784 f.Kr.<ref name=AH21/> Den antas å stamme fra den babylonske byen [[Larsa]]. Tavlen inneholder en tabell 
med fire kolonner og 15 rader.  Kolonne nummer fire fra venstre nummererer radene, med tall fra 1 til 15.  Kolonne nummer en er delvis ødelagt.  Kolonne nummer to og tre har som overskrift henholdsvis
«Bredde» og «Diagonal».  Tabellen er tolket som å inneholde tall brukt for å konstruere pytagoreiske tripler, inkludert de følgende:

:<math>
\begin{alignat}{2}
(56, 90, 106) \\
(119, 120, 169) \\
(12709, 13500, 18541)
\end{alignat}
</math>.

En slik tolkning viser at babylonerne hadde metoder til å regne ut triplene, og tallene i tavlen kan indikere at de kjente Diofants konstruksjonsmåte.

En annen tavle i kileskrift, fra [[Hammurabi|Hammurabi-dynastiet]] (1829–1530 f.Kr.), finnes nå i [[British Museum]].<ref name=BM1>{{kilde www |url=https://www.britishmuseum.org/collection/object/W_1899-0415-3 |tittel=Tablet 85196 |utgiver=British Museum |besøksdato=2021-03-14}}</ref> 
Tavlen inneholder et geometrisk problem, med løsning gitt i det [[Seksagesimalsystem|seksagesimale tallsystem]]:<ref>[[#HG| H. Geriche: ''Mathematik in Antike und Orient '']] s.33f </ref><ref>[[#KV| K. Vogel: ''Vorgriechische Mathematik'']] s.67f </ref>
[[Fil:Pythagoras_Sexagesimal.gif|thumb|left|En stav med lengde 0;30 senkes 0;6 ved at foten flyttes til siden. Hvor langt til siden flyttes fotpunktet?]]
{|
|
|----- bgcolor="#DDDDDD"
! 
! 
|----- bgcolor="#BBBBBB"
|Originalteksten i oversettelse || Kommentarer
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''En stav: 0;30 GAR'' || 30/60 GAR = 1/2 GAR ≈ 3 m lang.<ref>[[#KV| K. Vogel: ''Vorgriechische Mathematik'']] s.20 </ref>
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''foroven er den sunket 0;6'' || Når toppen er senket 6/60
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''nedentil har den fjernet seg'' || ..hvor langt har foten fjernet seg fra vertikalen?
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''0;30 kvadrere: 0;15, skjønner?'' || (30/60)<sup>2</sup> = 900/3500 = 15/60
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''trekke 0;6 fra 0;30: 0;24, skjønner?'' || -6/60 + 30/60 = 24/60
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''0;24 kvadrere: 0;9,36, skjønner?'' ||(24/60)<sup>2</sup> = 576/3600 = 0;9,36
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''trekk 0;9,36 fra 0;15: 0;5,24, skjønner?'' || - 576/3600 + 15/60 = 324/3600 = 0;5,24 
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''0;5,24 har kvadratroten? 0;18'' || (324/3600)<sup>−2</sup> = 18/60 = 0;18
|----- bgcolor="#EEEEEE"
| ''0;18 GAR har den fjernet seg ved bakken'' || 
|}
{{Clear}}
Løsningen i tavlen kan skrives som:

:<math>0;18^2 = 0;30^2 - 0;24^2\ .</math> 

Dette svarer til Pytagoras’ sats på formen <math> a^2 = c^2 - b^2</math>.  Fra denne kilden fremgår imidlertid ikke om babylonerne kjente noe matematisk bevis.

Ifølge historikeren [[Jamblikos]] skal Pytagoras ha oppholdt seg tolv år i Babylon.<ref name=AH169>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.169 </ref>  

=== I egyptisk matematikk ===
{{utdypende|Oldtidens egyptiske matematikk}}
En vanlig oppfatning er at egyptisk matematikk ikke nådde like langt som den babylonske, spesielt ikke innenfor algebra.<ref name=AH59>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.59ff </ref><ref name=BO40>[[#BOYER|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.40 </ref> 
Om de utviklet ''ny'' geometrisk kunnskap er omdiskutert.<ref name=BO40/>  Gjennom landmåling la imidlertid egypterne et grunnlag for den etterfølgende greske geometrien, og egypterne har brukt 
pytagoreiske tripler til hjelp for å konstruere rette vinkler.  En tau-ring med tolv ekvidistante knuter kan brukes til å danne en trekant med sidene 3,4,5, og derved danne en rett vinkel.  

Det er lite funn av direkte kilder om egyptisk kjennskap til den pytagoreiske læresetningen.  Verken [[Moskva-papyrusen]] eller [[Rhind-papyrusen]] nevner problemstillinger der denne er i bruk.  
[[Berlinpapyrus 6619|Berlin-papyrus 6619]] er skrevet mellom 2000 og 1786 f.Kr. i [[Mellomriket i Egypt|Mellomriket]], og her forekommer fire ligninger som alle er basert på det pytagoreiske trippelet 
(3,4,5):<ref>{{kilde bok| forfatter=Stephen Hawking |tittel=God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history |forlag=Greenworld Books |år=2005 |isbn=978-0762419227 |url=https://books.google.no/books?id=Lu83DgAAQBAJ&pg=PT23&lpg=PT23#v=onepage&q&f=false}}</ref>

:<math>
\begin{alignat}{2}
1^2 + ( \frac{3}{4} )^2 &= ( 1\frac{1}{4} )^2 \\
8^2 + 6^2 &= 10^2 \\
2^2 + ( 1\frac{1}{2} )^2 &= ( 2\frac{1}{2} )^2 \\
16^2 + 12^2 &= 20^2 
\end{alignat}
</math>

Papyrusen inneholdet imidlertid ingen referanse til trekanter.

Mye av kunnskapen om egyptisk geometri kommer fra greske kilder.<ref name=TH123>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.123ff</ref>
Den antikke historikeren [[Herodot]] forteller om egyptisk landmåling og gir dette æren for opphavet til geometri.  
Proklos forteller at grekeren [[Tales fra Milet]] reiste til Egypt og lærte geometri der.
Også Pytagoras skal ha vært på reise i Egypt.<ref name=AH169/>
[[Demokrit]] skryter av at ingen har overgått ham i geometrisk kunnskap, ikke en gang de egyptiske «tau-strekkerne».<ref name=TH123/>

=== I indisk matematikk ===
{{utdypende|Indisk matematikk}}
[[File:Pythagoras sulbasutram50.png|thumb|Geometri i Sutra 50]]
[[Śulbasūtraene]] er en samling av indiske [[sutra|sutra-tekster]] fra engang mellom det 8. og 2. århundre f.Kr.  Dette verket er en del av en større samling av religiøse tekster, 
og delen omtaler matematikk for å kunne konstruere brennalter og for å sette opp en kalender over religiøse høytider<ref name=SV>{{kilde bok|forfatter=Swami Vishnu |tittel=Vedic science & history |forlag=Gosai Publishers |år=2018 |isbn=978-8-1926601-3-4 |side=65f}}</ref>
Tittelen kan oversettes med «Regler for bruk av snoren».<ref name=AH122>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.122 </ref>
Teksten lister fem pytagoreiske tripler, gir en form for Pytagoras’ teorem og viser i tillegg at teoremet er gyldig for en likesidet trekant.<ref>[[#HG| H. Geriche: ''Mathematik in Antike und Orient '']] s.68</ref><ref name=OB>{{kilde bok |forfatter=Oskar Becker |tittel=Das mathematische Denken der Antike |forlag=Vandenhoeck & Ruprecht |utgivelsessted=Göttingen |år=1966 |side=55f}}</ref><ref>[[#EUKLID| Euclid: ''The thirteen books of...'']] s.360-364</ref>

Der eksisterer minst fire versjoner av Sulbasutraene, men geometri-beskrivelsen er relativt like i disse fire.<ref name=DWH>{{kilde bok| tittel=Experiencing geometry |forfatter=David W. Henderson, Daina Tamina |forlag=Project Euclid |isbn=978-0131437487 |url=https://projecteuclid.org/ebooks/books-by-independent-authors/Experiencing-Geometry/chapter/Chapter-13-Square-Roots-Pythagoras-and-Similar-Triangles/10.3792/euclid/9781429799850-17 |side=174ff}}</ref>
Versjonen som skal være laget av Baudhayana er anslått å være fra omkring 600 f.Kr., det vil si rundt hundre år før Pytagoras. Mye tyder på at kunnskapen som er samlet i teksten kan være betydelig eldre.  
Baudhayana-Sulbasutra drøfter flere problem der oppgaven er å konstruere en figur med samme areal som en eller flere andre figurer.  I Sutra 50 gir teksten en oppskrift for å summere arealet av to kvadrat, illustrert ved figuren til høyre:

{{sitat|Hvis du vil slå sammen to ulike kvadrater til ett, ta det største kvadratet og legg til et bit av det største. Biten skal være laget med en side lik siden i det minste kvadratet.  Diagonalen i denne biten er siden i det kombinerte kvadratet.|Baudhayana Sutra 50<ref name=DWH/>}}

Sutra 50, 51 og 54 gir sammen en form for godtgjøring for at Pytagoras’ sats er riktig. Om dette kan gjelde som et generelt «bevis» er omdiskutert.<ref name=DWH/><ref name=TH144/>

Det er blitt foreslått at inderne hentet kunnskap fra Mesopotamia,<ref name=BO229>[[#BOYER|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.229 </ref> men også motsatt, at Mesopotamia fikk kunnskap fra India.<ref name=DWH/>

=== I kinesisk matematikk ===
{{utdypende|Kinesisk matematikk}}
[[Fil:Chinese pythagoras.jpg|thumb|Grafisk bevis for en (3, 4, 5) trekant, gjengitt i ''Zhoubi suanjing'']]
Også kinesisk matematikk har i lang tid kjent til former for Pytagoras’ teorem.
Den eldste kjente kinesiske matematiske teksten er antagelig ''[[Soluret og himmelens sirkler|Zhoubi suanjing]]'' (''Soluret og himmelens sirkler'').<ref name=BO217>[[#BOYER|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.217 </ref> 
Tidfestingen av gamle kinesiske matematiske verk er svært usikker, og datering varierer sterkt i ulike kilder. Historien til ''Zhoubi suanjing'' kan gå helt tilbake til 1200 f.Kr, men verket har kanskje fått
en endelig form en gang mellom 500 f.Kr. og 200 e.Kr.  Innholdet er astronomiske beregninger, men også geometri for trekanter og litt om brøkregning.  I likhet med både babylonske, indisk og egyptiske tekster, er dette en samling av problemer, med løsning. 
Blant de 246 problemene som er med i verket, inngår en figur som viser at kineserne kjente til den pytagoreiske læresetningen, med en trekant med sidelengder 
3, 4 og 5.<ref name=OB/><ref name=AH87>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.87 </ref>  
Figuren er gjengitt til høyre. Den vertikale teksten til venstre for figuren er som følger: 

:勾股幂合以成弦幂
:''gōu gǔ mì hé yǐ chéng xián mì'' 
{{sitat|Summen av lengdene til kvadratene til høyden og basen er lik lengden til hypotenusen.|''Soluret og himmelens sirkler''{{tr}}}}

Nesten like gammelt som ''Zhoubi suanjing'', og kanskje vel så innflytelsesrikt, er verket ''[[Ni kapitler om den matematiske kunst|Chiu chang suan shu]]'' («Ni kapitler om den matematiske kunst»).<ref name=BO217/><ref name=AH87/>
Også dette er en problem-samling, med løsning på 263 matematiske problemer. I det niende og siste kapittelet omtales pytagoreiske tripler og rette trekanter.<ref>[[#FS|F. Swetz, T.I. Kao: ''Was Pythagoras Chinese? ...'']] s.?? </ref> 
Et klassisk problem, som en også finner i indiske tekster, er «problemet med den brukne bambusen»:<ref name=AH87/> Et bambustre som er 10 lengder høyt, knekker.  Toppen når da bakken 3 lengder fra foten av stammen.  Hvor høyt oppe er
bambusen brukket?  Løsningen krever bruk av Pytagoras’ sats.  Hvis <math>x</math> er høyden til fra foten til knekkpunktet, så er

:<math>
\begin{alignat}{2}
&(10 - x)^2 = x^2 + 3 \\
&\Rightarrow 20x = 91
\end{alignat}
</math>

En kommentar til ''Chiu chang suan shu'', med tittel ''[[Jiuchang suan shu]]'', ble skrevet av [[Liu Hui]] i året 263 e.Kr. Her blir det gitt et bevis{{utdyp|For hva?}} i kapittel 9.<ref>{{kilde bok |forfatter=Karine Chemla, Guo Shuchun |tittel= Les neuf chapitres. Le classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. |forlag=Dunod |år=2005 |side=680 |isbn=978-2100495894}}</ref>

Den pytagoreiske læresetningen var kjent i Kina under navnet ''Gōugŭ'' (勾股), «base og høyde». For en trekant med sidene 3, 4 og 5 ble læresetningen kalt ''Gōugŭ-teoremet'' (勾股定理, Gōugŭ Dìnglĭ).{{tr}}

=== Pytagoras’ rolle ===
{{utdypende|Pytagoras}}
[[Fil:Kapitolinischer Pythagoras adjusted.jpg|thumb|Byste av Pytagoras i [[Kapitolmuseene]] i Roma.]] 
Svært lite håndfast er kjent om personen Pytagoras. Det er ikke funnet noe skriftlig verken fra ham eller fra miljøet rundt ham, og all kunnskap kommer fra senere omtale.  Nøyaktig leveår for Pytagoras er ikke kjent, men det er antatt at han levde i perioden 580-475 f.Kr.<ref name=AH164>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.164 </ref> Beretninger om Pytagoras reiser til Babylonia og Egypt, fortalt av blant annet [[Jamblikos]], har i ettertiden blitt møtt med både tillit og skepsis, men det er grunn til å tro at de inneholder en kjerne av sannhet.<ref name=AH169/><ref name=AH178>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.178f </ref> Pytagoras ble leder for et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap i [[Crotone|Kroton]], kjent som pytagoreerne.  

Hvor mye kunnskap pytagoreerne hadde om sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, er ikke kjent. Både Pytagoras og senere følgesvenner var nok fortrolige med pytagoreiske tripler, og etter tradisjonen skal kjennskapen til (3,4,5) ha kommet fra Egypt.<ref name=ESL4/> Om de hadde et bevis for sammenhengen mellom sidelengdene i en trekant, er omdiskutert.  Thomas Heath gir flere bevis som ''kan'' ha vært brukt av pytagoreerne.  Det er heller ikke kjent hva som ga støtet til kunnskapen om inkommensurable størrelser.  Muligens kom dette fra arbeid med [[pentagram]]et, som var viktig for pytagoreerne, men det er også naturlig å anta at en likesidet trekant har vært involvert.  
 
En tidlig kilde som tilegner teoremet til Pytagoras, skal ha vært en [[Apollodoros Arithmetikos]], og han blir sitert av flere senere kilder.<ref name=TH144/>  Detaljer om Apollodoros liv er ikke kjent. Verset som blir sitert etter Apollodoros er heller ikke entydig:

{{Sitat|''Da Pytagoras, som første, den berømte tegningen fant,<br />
han brakte da som offer et guddommelig oksedyr.''|{{tr}}}}

Apollodoros sier ingenting om hvilken «berømt tegning» han viser til.  Det greske ordet brukt om «tegning» kan også tolkes som «teorem».<ref name=TH144/>  Fortellinger om dyreoffer som takk for kunnskap var også tidligere blitt knyttet til andre, inkludert til Tales.  [[Diogenes Laertios]] (3. århundre f.Kr.) og flere andre går ut fra at verset gjelder oppdagelsen av Pytagoras’ sats.  Romeren [[Marcus Tullius Cicero|Cicero]] (106-43 f.Kr.) bruker fortellingen om Pytagoras og dyreofferet, uten å spesifisere hvilken geometrisk oppdagelse det gjaldt.  Han er imidlertid skeptisk, fordi dyreoffer ikke var godtatt blant pytagoreerne.  En annen romer, [[Vitruvius]] (ca. 80-ca.15 f.Kr.), knytter fortellingen til oppdagelsen av det pytagoreiske trippelet (3,4,5). [[Plutark]] (45-120) var kritisk til å tolke verset i tilknytning til Pytagoras’ teorem. Trass denne uenigheten, var det mange som i ettertid ga Pytagoras æren for å ha oppdaget teoremet.<ref name=TH144/> Proklos i det femte århundre etter Kristus stadfester dette, uten selv å ta stilling til sannhetsinnholdet. Ifølge Proklos bør Euklid bli gitt største æren, for han var den ga bevis for teoremet.

I sitt store verk om historien til gresk matematikk, sier Thomas Heath i avsnittet om Pytagoras’ teorem:

{{sitat|Though this is the proposition universally associated with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him. <br/>
... <br/>
I would not go so far as to deny to Pythagoras the credit of the discovery of our proposition; nay, I like to believe that the tradition is right, and that it was really his.|Thomas Heath<ref name=TH144/>}}

I ettertiden har det vært stor uenighet om Pytagoras’ rolle, og flere hypoteser er gjeldende:
* Pytagoras overtok satsen fra babylonerne. Han var kun en formidler av orientalsk kunnskap til grekerne. Dette er synet til vitenskapshistorikeren [[Walter Burkert]].<ref>{{kilde bok| forfatter=Walter Burkert |tittel=Weisheit und Wissenschaft |utgivelsessted=Nürnberg |år=1962 |side=405f, 441ff}}</ref>  
* Pytagoras oppdaget og beviste satsen uavhengig av orientalsk matematikk. Dette var en vanlig oppfatning i antikken og er også synet til vitenskapshistorikeren [[Leonid Zhmud]].<ref>{{kilde bok| forfatter=Leonid Zhmud |tittel=Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus |utgivelsessted=Berlin |år=1997 |side=141-151, 160-163}}</ref><ref>[[#EUKLID| Euclid: ''The thirteen books of...'']] s.350-360</ref>
* Pytagoras støttet seg til orientalske kilder, men var den første som fant et bevis. Egypterne og babylonerne var primært interessert i satsens anvendelse og ikke i et generelt bevis. 
* Pytagoras hadde selv få eller ingen bidrag. Andre pytagoreere kan på et senere tidspunkt ha funnet et bevis og så har dette blitt knyttet til Pytagoras.

Oppfatningen til Thomas Heath ligger kanskje et sted mellom de to siste hypotesene.    

=== Euklids rolle ===
{{utdypende|Evklid}}
Euklid hadde mesteparten av sitt virke i [[Alexandria]], omkring 300 f.Kr.  
Beviset som Euklid bruker for Pytagoras’ teorem i I.47 er antagelig hans eget.<ref name=TH378>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.378 </ref>  Det betyr ikke at det ikke eksisterte eldre bevis eller at Euklid ikke kjente til disse.  Euklid bygger opp ''Elementer'' svært systematisk, og beviser satsene steg for steg.  Beviset for I.47 ble antagelig valgt fordi det ikke trengte bruk av formlike figurer og forhold mellom lengder.  Dette emnet ble først introdusert i bok V.  Pytagoras’ teorem og det omvendte teoremet avslutter bok I, som høydepunkt.  Så om beviset for I.47 i dag kan synes unødig komplisert, så er Euklids fortjeneste at han greidde å gjennomføre dette kun basert på innholdet i bok I.  

Euklids ''Elementer'' ble antagelig skrevet som en lærebok og ikke som et forsøk på å samle all kjent geometrisk kunnskap eller presentere ny kunnskap.<ref name=TH354>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.354ff </ref> Ingenting blir nevnt om opphavet til innholdet, og heller ikke Pytagoras er nevnt. Det er antatt at store deler av innholdet i bok I, II, IV og VI var kjent for pytagoreerne.<ref name=TH201>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.201 </ref> Euklid gjør ingen krav på originalitet, men han har antagelig laget nye bevis der dette har vært nødvendig for sammenhengen.<ref name=TH354/> Det store bidraget til Euklid var den systematiske oppbyggingen av teorien, der alt blir stringent bevist.

{{sitat|In rectangulis triangulisquadratum, quod a latere rectum angulum subtendentedescribitur, aequale est eis, quae a lateribus rectumangulum continentibus describuntur.|Euklid I.47 i latinsk versjon<ref name=ESL4>[[#ESL| E.S. Loomis: ''The Pythagorean proposition'']] s.4 </ref>}}

{{sitat|I rettvinklede trekanter er kvadratet på siden motstående til den rette vinkelen lik kvadratene på sidene som avgrenser den rette vinkelen|Euklid I.47 i norsk omsetting etter T. Heath<ref name=AH264>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.264 </ref>}}