Redigerer Matrise (avsnitt)

=== Determinanter ===
: ''Utdypende artikkel:'' [[Determinant]]

For en reell, kvadratisk matrise er determinanten et reelt tall, entydig bestemt av elementene i matrisen.  Tilsvarende er determinanten til en kompleks matrise
et komplekst tall. Presist kan en si at determinanten er en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] med [[definisjonsmengde]] lik mengden av reelle/komplekse, kvadratiske matriser og 
med [[verdimengde]] lik mengden av reelle/komplekse tall.

Dersom en uttrykker en matrise som en samling av rekker, <math>A_{nn} = (A_1, A_2, \dots, A_n)</math>, så kan en definere determinanten
som en funksjon <math>f</math> med de følgende egenskapene:<ref name=AP74>[[#AP|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II ]] s.74 </ref>

* Funksjonen er homogen i hver rekke, det vil si at <math>f(\dots, tA_k, \dots A_n) = t f(\dots, tA_k, \dots )</math>.

* Funksjonen er additiv i hver rekke, det vil si at <math>f(\dots, A_k + C, \dots A_n) = f(\dots, A_k, \dots ) + f(\dots, C, \dots ) </math>.

* Funksjonen er lik null dersom to rekker er like.

* Funksjonen er lik 1 for identitetsmatrisen.

Determinanten til matrisen <math>A</math> betegnes som regel <math>\det A</math> eller <math>\det(A)</math>. Notasjonen <math>|A|</math> brukes også, 
men det er lett å forveksle dette symbolet med [[absoluttverdi]]en av matrisen. For absoluttverdien av en matrise brukes både <math>|A|</math> og <math>|A|_{abs}</math>.
Ønsker en å presisere elementene i matrisen, skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

: <math> \text{det} A=
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{vmatrix}
</math>

[[Leibniz' formel for determinanter|Leibniz' formel]] uttrykket determinanten som en sum av ''n'' produkt.{{tr}}
Hvert produkt inneholder ''n'' faktorer, der hver faktor er et matrise-element. I hvert produkt er hver rekke og hver søyle i matrisen 
representert med ett og kun ett element. For en (2×2)-matrise er determinanten gitt ved formelen

:<math>\det \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} </math> .

Determinanter kan også beregnes ved hjelp av [[Laplace-ekspansjon]].<ref name=RDM79>[[#RDM| R. D. Milne: ''Applied functional analysis...'']] s.79 </ref>

Determinanten kan brukes til å karakterisere egenskaper til matrisen og til den lineære transformasjonen som matrisen representerer.
For eksempel vil en kvadratisk matrise med en determinant ulik null, ha definert en invers.  Determinanten til en ortogonal matrise har alltid
absoluttverdi lik 1.