Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

===Vekselvirkningsenergi===

Hvis en eller flere av de elektriske strømkretsene som utgjør systemet, kan bevege seg under oppladningen, vil systemet kunne utføre et mekanisk arbeid ''W<sub>m</sub>''. Den tilførte, eksterne energien går da med til dette arbeidet pluss en økning av den magnetiske energien. [[Energiprinsippet|Energibalansen]] tilsier derfor at

: <math> dW_e  =  dW_m  +  dU_B </math>

Når en eller flere strømsløyfer flytter seg under denne forandringen, vil det generelt [[elektromagnetisk induksjon|induseres]] strømmer i kretsene.  Ved å regulere den eksterne strømtilførselen slik at disse strømmene forblir konstant, er forandringen i den magnetiske enrgien

: <math> dU_B = {1\over 2}I_1d\Phi_1 + {1\over 2}I_2d\Phi_2 + \ldots  </math>

som er like med (1/2)''dW<sub>e</sub>''. Fra energibalansen følger det derfor at  ''dW<sub>m</sub>'' = ''dU<sub>B</sub>&thinsp;'' i dette tilfellet.<ref name = RM/> 

Hvis en del av dette systemet flytter seg en liten distance ''d''&thinsp;'''x''' under denne forandringen, kan det mekaniske arbeidet som systemet utfører, skrives som 
''dW<sub>m</sub>'' = '''F'''&sdot;''d''&thinsp;'''x''' hvor den magnetiske kraften '''F''' er skapt av systemet. Dette arbeidet tilsvarer en reduksjon {{nowrap|''dU<sub>m</sub>'' {{=}} - ''dW<sub>m</sub>''&thinsp;}} i den mekaniske '''vekselvirkningsenergien''' mellom deler av strømsystemet. Ved direkte integrasjon av sammenhengen {{nowrap|''dU<sub>m</sub>'' {{=}} - ''dU<sub>B</sub>&thinsp;''}} har man derfor for denne

: <math> U_m = - {1\over 2}\int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A} </math>

Denne [[potensiell energi|potensielle energien]] for konstante strømmer er derfor ganske enkelt den negative av totalenergien til hele systemet.<ref name = Zangwill/> De magnetiske kreftene den gir opphav til, kan nå finnes på vanlig måte fra '''F''' = - '''&nabla;'''&thinsp;''U<sub>m</sub>''.

Hvis systemet består av to strømtettheter '''J'''('''r''') og '''J''''('''r'''), vil begge disse to bidra til vektorpotensialet. Kalles disse to bidragene på samme måte '''A''' og '''A'''', kan den mekaniske energien skrives på formen

: <math> U_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = U_m(\mathbf{J}) + U_m(\mathbf{J'}) +  V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) </math>

hvor de to første termene er mekaniske selvenergier. Selve vekselvirkningsenergien mellom de to strømmene er inneholdt i den siste termen

: <math> V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = - \int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A'} = - \int\!d^3x\,\mathbf{J'}\cdot\mathbf{A} </math>

Dette er det generelle resultatet for vekselvirkningsenergien til en strøm i feltet fra en annen strøm. Ved å sette inn formelen for vektorpotensialet fra den andre  strømtettheten, kan energien i dette tilfellet skrives som

: <math>  V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = - \frac{\mu_0}{4\pi}\int\! d^3x \int\! d^3x' {\mathbf{J}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{J'}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Fra denne potensielle energien følger nå Ampère-kraften ved [[derivasjon]], noe som tilsvarer at man flytter den ene kretsen litt i forhold til den andre uten at noen av dem forandrer sin form.<ref name = Zangwill/>