Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

=== Fullstendig firkant på kjeglesnitt ===
[[Fil:Polarconstruct-1.jpg|left|thumb|240px|Konstruksjon av polaren <span style="color:red;"> (rød) </span>  til punktet '''z''' ved hjelp av to sekanter <span style="color:blue;">(blå) </span>. Skjæringspunktene '''a''', '''b''', '''c''' og '''d''' med kjeglesnittet definerer en [[fullstendig firkant]]. Linjen mellom de to diagonale skjæringspunktene '''x''' og '''y''' er polaren.]]
Svakheten i denne metoden til bestemmelse av pol og polare, ligger i den geometriske konstruksjonen av tangentene til kjeglesnittet. Det kan ikke bli gjort helt nøyaktig kun ved bruk av [[linjal]] og [[passer]]. Denne vanskeligheten kan omgås ved benytte en viktig egenskap ved en  [[fullstendig firkant]] som har fire hjørner på kjeglesnittet. Den diagonale trekanten til firkanten er da «selvpolar» på den måten at hvert av dens tre hjørner er polen til den motsatte siden i trekanten.  Er kjeglesnittet en sirkel, vil firkanten være en [[firkant#Syklisk firkant|syklisk]].

Basert på denne egenskapen kan man finne polaren til et punkt '''z''' ved å trekke to vilkårlige linjer gjennom punktet slik at de begge skjærer kjeglesnittet. Linjene er derfor [[sekant]]er. De fire skjæringspunktene definere en fullstendig firkant hvor to av sidene er disse sekantene. To andre, motstående sider i firkanten skjærer hverandre i det diagonale  punktet '''x''', mens de to siste sidene skjærer hverandre i et punkt '''y'''. Sammen med det gitte punktet '''z''' utgjør disse tre punktene hjørnene i den dagonale trekanten.  Polaren til '''z''' er da linjen gjennom punktene '''x''' og '''y'''. Den er uavhengig av hvilke to sekanter som opprinnelig ble valgt til å forme fden fullstendige irkanten på kjeglesnittet.

Fra samme konstruksjonen ser man også at polaren til punktet '''x''' er linjen gjennom de diagonale punktene '''y''' og '''z'''. Det kan benyttes til å finne polaren til et punkt som ligger innenfor kjeglesnittet. Igjen trekker man to vilkårlige sekanter gjennom punktet for å finne en firkantl liggende på kjeglesnittet.  De to andre diagonale punktene blir liggende utenfor kjeglesnittet og dermed også polaren til det gitte punktet.  

Omvendt kan denne direkte fremgangsmåten også benyttes til å konstruere polen til en gitt linje. Man velger da et vilkårlig punkt på linjen og trekker to sekanter gjennom dette. Skjæringspunktene med kjeglesnittet definerer en fullstendig firkant. Polen til linjen er da det diagonale punktet til dette som ligger utenfor den gitte linjen.