Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

===Feltenergitetthet===

Ved bruk av det magnetiske vektorpotensialet '''A''' og [[Stokes' teorem]] kan fluksen gjennom en lukket krets ''C'' som spenner ut flaten '''S''', skrives som 

: <math> \Phi = \int\!d\mathbf{S}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \oint_C\!d\mathbf{s}\cdot\mathbf{A} </math>

Når denne fluksen skyldes strømmen ''I&thinsp;'' gjennom kretsen, kan derfor den magnetiske feltenergien alternativt skrives som 

: <math> U_B = {1\over 2}\oint_C\!Id\mathbf{s}\cdot\mathbf{A}  </math>

På denne formen kan man nå finne den samme energien for en mer generell strømfordeling gitt ved strømtettheten '''J''' = '''J'''('''r'''). Denne kan betraktes som bestående av tynne strømfilament som tilsvarer utvidelsen ''Id'''''s''' &rarr; '''J'''''d''<sup>&thinsp;3</sup>''x''. Slik kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> U_B = {1\over 2}\int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A} </math>

Ved å bruk [[Ampères sirkulasjonslov]] '''J''' = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' kan dette uttrykkes ved det magnetiske feltet alene. Dette oppnås ved å bruke den [[vektoranalyse|vektoranalytiske]] identiteten 

: <math> \mathbf{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{H}) = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{H}\times\mathbf{A}) + \mathbf{H}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) </math>

Fra [[divergensteoremet]] følger at det første leddet her gir null når overflaten til integrasjonsvolumet legges uendelig langt i det fjerne hvor feltet fra strømfordelingen forsvinner. Da det siste leddet er lik med '''B'''&sdot;'''H''', betyr det at denne energien kan uttrykkes ved en magnetisk feltenergitetthet

: <math> u_B = {1\over 2} \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} </math>

I et lineært medium er '''B''' = ''&mu;''&thinsp;'''H''' slik at ''u<sub>B</sub>'' = (1/2)''&mu;H''<sup>&thinsp;2</sup> = ''B''<sup>&thinsp;2</sup>/2''&mu;''. Dette er i overensstemmelse med energitettheten i en [[induktans#Energi i en spole|ideell spole]] hvor magnetfeltet befinner seg inni spolen med en konstant verdi.