Redigerer Yukawa-potensial (avsnitt)

==Yukawas teori==

[[Hideki Yukawa]] hadde studert i Japan, men fulgte godt med utviklingen av [[kvantemekanikk]] og [[kjernefysikk]] i Europa. Han begynte å tenke på at den sterke kjernekraften kunne forklares på lignende måte som Heisenberg og [[Wolfgang Pauli]] i 1929 hadde utledet [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensialet]] mellom to elektriske ladninger ved en utveksling av [[foton]]er. Istedenfor at et proton og et nøytron utveksler elektron-nøytrino par, ville han heller beskrive slike par som et kvantisert «Fermi-felt» i analogi med det elektromagnetiske feltet og dets fotoner. Denne vekselvirkningen kan beskrives ved et [[potensiell energi|potensial]] når partiklene det kobler til, beveger seg ikke-relativistisk eller ligger tilnærmet i ro.<ref name = Bethe-1/>

Han betegnet dette nye [[felt (fysikk)|feltet]] med bokstaven ''U''. Da det måtte være [[boson]]isk, antok Yukawa at det kunne beskrives ved [[Klein-Gordon-ligning]]en. På samme måte som [[Elektrisk felt#Elektrisk potensial|Poisson-ligning]]en {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>''V'' {{=}} - ''J<sub>Q</sub>&thinsp;''}} bestemmer Coulomb-potensialet ''V&thinsp;'' fra en elektrisk ladningsfordelfng ''J<sub>Q</sub>&thinsp;'', vil da ''U''-feltet følge fra [[partiell differensialligning|differensialligningen]]

: <math> \nabla^2 U - \kappa^2 U = - J_N </math>

der ''J<sub>N</sub>&thinsp;'' angir tettheten av nukleært materiale og {{nowrap|''&kappa;'' {{=}} ''mc''&thinsp;/''ħ''.}}  Her er ''m'' massen til partiklene som fremkommer når ''U''-feltet kvantiseres.<ref name = TD>T.D. Lee, ''Particle Physics and Introduction to Field Theory'', World Scientific, Singapore (1988). ISBN 3-7186-0033-1.</ref>

[[Fil:Momentum exchange.svg|left|thumb|300px|Feynman-diagram for vekselvirkning mellom et proton til venstre og et nøytron til høyre ved utveksling av et [[boson]] med [[bevegelsesmengde|impuls]] '''k'''.]]

Når nukleonene er omtrent i ro, kan de tilnærmet beskrives som om de befinner seg i ett punkt.  Velger man dette som '''r''' = 0, er deres tetthet da gitt ved [[Diracs deltafunksjon]] som

: <math> J_N(\mathbf{r}) = g\delta(\mathbf{r}) = g\!\int\!{d^3k\over (2\pi)^3} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} </math>

hvor ''g'' er en konstant som angir styrken til koblingen av ''U''-feltet til neutron-proton-paret. Hvis man nå også foretar [[Fourier-transformasjon]]en

: <math> U(\mathbf{r}) = \int\!{d^3k\over (2\pi)^3} U(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} </math>

av ''U''-feltet, gir differensialligningen at

: <math> (k^2 + \kappa^2) U(\mathbf{k}) = g </math>

Dermed følger det statiske feltet fra

: <math> U(\mathbf{r}) = \int\!{d^3k\over (2\pi)^3} {g\over k^2 + \kappa^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} = {g\over 4\pi r} e^{-\kappa r} </math>

Den potensielle energien mellom de to partiklene er nå koblingskonstanten ''g'' multiplisert med dette klassiske feltet.<ref name = FH/>

===Resultat===
[[Fil:Yukawa m compare.svg|thumb|300px|Grafisk fremstilling av negative Yukawa-potensial for utveksling av partikler med forskjellige masser.]]
Da Yukawa hadde utviklet sin teori på utveksling av en partikkel som hadde likhetspunkter med et massivt foton, var det opprinnelige potensialet hans positivt og derfor frastøtende. Det tilsvarer at Coulomb-potensialet også er repulsivt mellom like ladninger. I tillegg var resultatet uavhengig av spinnet til nukleonene. Også det var i motstrid med hva som man da visste om kraften som holder protonet og nøytronet sammen i [[deuteron]]et. 

Begge problemene regnet Yukawa ville forsvinne etter en mer nøyaktig beregning. Der ville man ta hensyn til de andre komponentene av ''U''-feltet på samme måte som at utveksling av et foton gir opphav til [[magnetisme|magnetiske krefter]]. Dette nye feltet måtte også være [[komplekst tall|komplekst]] da partiklene som utveksles, har elektrisk ladning. Derfor må det samme feltet også beskrive [[antipartikkel|antipartikler]] med motsatt ladning. De vil nå kunne gi opphav til en sterk kjernekraft mellom protoner. Likevel fikk teorien til Yukawa til å begynne med lite eller ingen oppmerksomhet.<ref name = Cent> L.M. Brown, ''Yukawa's Prediction of the Meson'', Centaurus '''25''' (1), 71-132 (1981).</ref>

Yukawa hadde innført ''U''-feltet som en erstatning for «Fermi-feltet» bestående av elektron og nøytrino. Det kunne derfor koble til disse to partiklene på lignende måte som til proton og nøytron, men da med en annen koblingksonstant ''g'&thinsp;''. Hvis den tilsvarende ''U''-partikkelen derfor hadde en masse som var større enn massen til disse to partiklene, vil den være ustabil og henfalle til disse to. Denne forutsigelsen skulle vise seg å være svært profetisk og tett opp til hva som senere ble oppdaget for [[pion]]et.<ref name = FH/>

===Virtuelle partikler===

Av større betydning enn den nøyaktige formen på potensialet, var Yukawas beskrivelse av hvordan subatomære krefter kan oppstå ved utveksling av massive partikler. En slik partikkel er ikke fri, men må betraktes som «virtuell» da den eksisterer bare et øyeblikk &Delta;''t'' uten den vanlige sammenhengen mellom energi og impuls. Men den medfører en usikkerhet i energien &Delta;''E'' som ifølge [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]] må oppfylle

: <math> \Delta E  \Delta t \ge \hbar </math>

I dette korte tidsrommet kan partikkelen bevege seg maksimalt en strekning ''R'' &le; ''c''&Delta;''t&thinsp;'' bort fra nukleonet. Samtidig må i dette tilfellet {{nowrap|&Delta;''E'' &ge; ''mc''<sup>&thinsp;2</sup>}}  når partikkelen har masse ''m''. Derfor vil rekkevidden av denne utvekslingskraften være

: <math> R \approx {\hbar\over mc} </math>

Det er nøyaktig den sammenhengen som Yukawa matematisk kom frem til ved bruk av Klein-Gordon-ligningen. Han visste at den sterke kjernekraften hadde en rekkevidde som er av størrelsesorden 1 [[femtometer|fm]] = 10<sup>-15</sup>&thinsp;m. Ifølge hans teori måtte derfor partiklene som formidler denne kraften, ha en masse ikke mye forskjellig fra 200&thinsp;[[Elektronvolt|MeV]]/''c''<sup>&thinsp;2</sup>. De vil derfor også være ustabile og henfalle til elektron og nøytrino. På den tiden var ingen slike partikler kjent.<ref name = Pais/>