Redigerer Variasjonsregning (avsnitt)

===Geodetisk linje===
Korteste kurve mellom to punkt i en [[flate]] kalles en [[geodetisk kurve]]. Er flaten et plan med kartesiske koordinater ''x'' og ''y'', er lengden av et lite linjestykke

: <math> ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = dx\sqrt{1 + y'^2}  </math>

hvor nå ''y' = dy/dx''. Vi vil nå finne kurven med den korteste lengden som forbinder origo (0,0) med punktet (''x<sub>B</sub> = a'', ''y<sub>B</sub> = b''). En vilkårlig kurve ''y = y(x)'' som forbinder disse to punktene, har en lengde ''L'' som finnes ved å summere alle de små linjestykkene den består av. Blir disse små nok, er denne summen gitt ved integralet

: <math> L = \int_0^a\!dx \sqrt{1 + y'^2}  </math>

I dette eksemplet er derfor ''F(y,y') = &radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)''. Dermed blir ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y = 0'' og ''&part;&thinsp;F/&part;&thinsp;y' = y'/&radic;(1 +y'<sup>&thinsp;2</sup>)'' slik at Euler-Lagrange-ligningen tar formen

: <math> {d\over dx}\Big( {y'\over \sqrt{1 + y'^2}}\Big)  = {y''\over (1 + y'^2)^{3/2}} = 0 </math>

For at ligningen skal være oppfylt, må derfor den andrederiverte ''y" = 0''. Den førstederiverte ''y''' er derfor konstant, noe som definerer en rett linje. Tar vi hensyn til de gitte grensebetingelsene, blir ligningen for denne dermed ''y = (b/a)x''.

Dette resultatet kunne vi nesten ha skrevet ned med en gang, uten noen bruk av variasjonsregning. Men hadde vi sett på et tilsvarende problem i en [[differensiell flategeometri|krum flate]], er bruk av Euler-Lagrange-ligningen nødvendig.