Redigerer Stern-Gerlach-eksperimentet (avsnitt)

==Kvantemekanisk forklaring==
Et [[magnetisk moment]]  eller [[magnetisk dipol|dipol]] '''&mu;''' som befinner seg i et magnetfelt '''B''', vil få en [[potensiell energi]] gitt ved

: <math> V_m = - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B} </math>

Når man velger ''z''-aksen langs feltet og dette er konstant, vil vektoren '''&mu;''' [[presesjon|presesere]] om denne aksen slik at komponenten ''&mu;<sub>z</sub>&thinsp;'' er konstant.  Hvis feltet varierer i denne retningen, vil de to endene av dipolen bli påvirket av ulike krefter. Det virker da en nettokraft på denne som blir

: <math> F_z = \mu_z {\partial B_z\over \partial z} </math>

samtidig som dipolen fortsetter å presesere om feltet. Hvis man nå har en smal stråle med atomer som har sine magnetiske moment likt fordelt i alle retninger, ville man forvente at den ville bli smurt jevnt ut i ''z''-retningen hvis den gikk gjennom et slikt inhomogent magnetfelt.<ref name="RR">  R. Eisberg and R. Resnick, ''Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles'', John Wiley & Sons, New York (1985). ISBN 978-0-471-87373-0.</ref>

===Halv-klassisk kvantemekanikk===
Et elektron som som går i en lukket bane med [[dreieimpuls]] '''L''' = '''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''',  gir opphav til et magnetisk moment

: <math> \boldsymbol{\mu} = {e\over 2m_e}\mathbf{L} </math>

når det har elektrisk ladning ''e'' og masse ''m<sub>e</sub>''. Opprinnelige i sin atommodell fra 1913 hadde [[Niels  Bohr]] kvantisert denne dreieimpulsen og vist at den måtte være et helt multiplum av den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] ''ħ''. Det magnetiske momentet til atomer skulle derfor opptre i enheter av

: <math> \mu_B = {e\hbar\over 2m_e} </math>

som fikk navnet «Bohr-magneton».

I 1922 hadde bildet av av atomets indre struktur blitt mer detaljert. Det ble godt summert opp av Bohr da han mottok [[nobelprisen i fysikk]] samme år. Hver [[Elektronskall#Bohr-Sommerfeld-kvantisering|tillatt bane]] for elektronene kunne angis ved symbolet ''n<sub>k</sub>'' hvor ''n'' = 1, 2, 3,.. er hovedkvantetallet og kvantetallet ''k'' = 1, 2, .., ''n&thinsp;''  angir størrelsen på dreieimpulsen til elektronet i banen. Sirkulære baner tilsvarer den maksimale verdien ''k'' = ''n''. Bohr forklarte  i sin Nobel-forelesning hvordan hele det [[Periodesystemet|periodiske systemet]] kunne bygges opp på denne måten.<ref name = Bohr-nobel> N. Bohr, [https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/bohr-lecture.pdf ''The structure of the atom''], Nobel Prize lecture, Stockholm (1922). </ref>

Noen få år tidligere hadde [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] vist at ikke bare størrelsen på dreieimpulsen var kvantisert, men også dens retning i rommet relativt til en vilkårlig ''z''-akse. Disse tillatte retningene var gitt ved et nytt, «magnetisk kvantetall», ''m''. Det anga størrelsen {{nowrap|''L<sub>z</sub>'' {{=}} ''mħ&thinsp;''}} til denne  komponenten av dreieimpulsen og kunne anta heltallige verdier |''m''&thinsp;| &le; ''k''. Det ga i alt 2''k'' mulige retninger da ''m'' = 0 ikke var tillatt ifølge Bohr.<ref name = Sommerfeld/>

[[Sølv]]atomet Ag har ladningstall ''Z'' = 47 som angir antall elektroner det inneholder. Av disse var 46 plassert i lukkete [[elektronskall|skall]] som til sammen ikke bidro til noen netto dreieimpuls. Det siste elektronet hadde Bohr plassert i banen  5<sub>1</sub>, det vil si med ''k'' = 1. Atomet ville derfor kunne anta kun to retninger i rommet. Da dette også var i overenstemmelse med hva som ble observert i eksperimentet, kunne Gerlach med en gang etterpå informere Bohr at han hadde hatt rett. Ikke bare retningskvantisering var påvist, men størrelsen av effekten stemte også med teorien.<ref name = Weinert>  F. Weinert, ''Wrong theory—Right experiment: The significance of the Stern-Gerlach experiments'', Studies in History and Philosophy of Science Part B, '''26''' (1), 75-86 (1995).</ref>

===Moderne kvantemekanikk===
[[Fil:Quantum projection of S onto z for spin half particles.svg|thumb|Spinn-1/2 kan innta to forskjellige retninger i rommet.]]
[[Werner Heisenberg]] og [[Erwin Schrödinger]] la grunnlaget for moderne [[kvantemekanikk]] i 1925-26. Den gjorde det klart at det halv-klassiske kvantetallet ''k'' som bestemmer [[Kvantisert dreieimpuls#Sfærisk harmoniske funksjoner|dreieimpulsen]] til en partikkel, må erstattes med ℓ = 0, 1, 2, .., ''n'' - 1. Det magnetiske kvantetallet |''m''&thinsp;| &le; ℓ tilsvarer nå {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige retninger i rommet da ''m'' = 0 er tillatt.<ref name = RR/> 

Et sølvatom i sin grunntilstand består fremdeles av 46 elektroner i [[Elektronskall|lukkede skall]], men det siste elektronet er i en 5s-tilstand med dreieimpuls {{nowrap|ℓ {{=}} 0}}. Det vil derfor ikke gi atomet et magnetisk moment. Alternativet ville være å plassere det i en tilstand med {{nowrap|ℓ {{=}} 1}}. Men da ville strålen med atomer bli splittet opp i tre deler og ikke to som observert.

Dette problemet ble løst ved erkjennelsen av at elektronet har et eget [[spinn]] '''S''' med kvantetall {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2}}. Det kan da innta to forskjellige retninger i rommet tilsvarende [[egenverdi]]ene {{nowrap|''S<sub>z</sub>'' {{=}} &pm;''ħ''/2}} langs ''z''-aksen. Det er dette spinnet som gir elektronet og dermed også atomet et magnetisk moment. Det er hensiktsmessig å skrive dette analogt med det orbitale bidraget som

: <math> \boldsymbol{\mu} = g_e {e\over 2m_e}\mathbf{S} </math>

hvor faktoren ''g<sub>e</sub>&thinsp;'' er det [[Pauli-ligning#Gyromagnetiske forhold|gyromagnetiske forholdet]] til elektronet. Da eksperimentet til Stern og Gerlach hadde vist at det magnetiske momentet til sølvatomet var én Bohr-magneton, må denne faktoren være {{nowrap|''g<sub>e</sub>'' {{=}} 2}}. Denne størrelsen fikk i årene som fulgte stor betydning i den videre utvikling av kvantemekanikken til [[kvanteelektrodynamikk]] og mer generell [[elementærpartikkel]]fysikk.<ref name="Pais">A. Pais, ''Inward Bound'', Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>