Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

===Harmonisk konjugasjon===

Det inverse punktet ''P'&thinsp;'' ligger på en linje gjennom sentrum ''O'' og punktet ''P''. Linjen skjærer inversjonssirkelen i to punkt ''Q'' og ''Q'&thinsp;'' som vil være [[harmonisk deling|harmonisk konjugerte]] med ''P'' og ''P'&thinsp;''. Hvis man ser bort fra retningene til de forskjellige linjestykkene, betyr det at {{nowrap|''QP''/''PQ'&thinsp;'' {{=}} ''QP'&thinsp;''/''Q'P'&thinsp;''.}}

Denne egenskapen følger fra å anta at ''P'' ligger innfor sirkelen i avstand ''x'' fra dens sentrum. Da er {{nowrap|''OP'' {{=}} ''x''}} og {{nowrap|''OP'&thinsp;'' {{=}} ''r''<sup>&thinsp;2</sup>/''x''&thinsp;}} fra definisjonen. Langs denne linjen er nå {{nowrap|''QP'&thinsp;'' {{=}}  ''QO'' + ''OP'&thinsp;''}} og {{nowrap|''Q'P'&thinsp;'' {{=}} ''OP'&thinsp;'' - ''OQ'&thinsp;''}}. Dermed blir forholdet

: <math> {QP'\over Q'P'} = {r + r^2/x\over r^2/x - r} = {r + x\over r - x} </math>

som er akkurat likt med forholdet ''QP''/''PQ'&thinsp;''. For tilfellet at punktet ''P'' ligger utenfor sirkelen, gjennomføres beviset på samme måte.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

Disse sammenhengene betyr at inversjonssirkelen kan identifiseres med [[Apollonios' sirkel|Apollonios-sirkelen]] for de to punktene ''P'' og ''P'&thinsp;''. For hvert punkt ''X'' på sirkelen er forholdet ''XP''/''XP'&thinsp;'' mellom de tilsvarende avstandene alltid det samme.