Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

===Partikkel i ytre potensial===

For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi ''V = V''('''x''')&thinsp;, kan man gå ut fra [[Hamiltonmekanikk|Hamilton-funksjonen]]

: <math> H(\mathbf{x},\mathbf{p}) = {\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{x})  </math>

Den gir [[Hamiltonmekanikk|Hamiltons ligninger]] som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen 
uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi ''E''.

I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av [[Hamilton-operator]]en. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen  <math> \mathbf{p} </math> med impulsoperatoren <math> \hat{\mathbf{p}} </math>.  Det gir Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x})  </math>

Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien ''E'' til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at <math> \hat{H} \psi = E \psi </math> som skrevet ut gir

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \psi(\mathbf{x}) = E \psi(\mathbf{x}) </math>

Dette kalles den ''stasjonære'' Schrödinger-ligningen. Variasjonen med tiden i denne bølgefunksjonen er nå gitt ved energien ''E'' på samme måte som for en fri partikkel.  Men avhengigheten av koordinaten '''x''' er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne [[differensialligning]]en. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien ''E'' tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell [[kvantisering (fysikk)|kvantisering]] av et system med partikler enn reglene til [[Niels Bohr|Bohr]] og [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]].

I det generelle tilfellet der potensialet ''V = V''('''x''',''t'')&thinsp; varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen &Psi;('''x''',''t'') er derfor annerledes enn for en fri partikkel, og den stasjonære Schrödinger-ligningen gjelder ikke lenger. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.<ref name="BrehmMullin">J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>