Redigerer Pytagoras’ læresetning (avsnitt)

=== Euklids bevis ===
I Euklids ''Elementer'', teorem 47 i bok I, finner man det eldste kjente beviset for Pytagoras’ teorem.<ref name=BO119>[[#BOYER|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.119 </ref><ref name=P47>{{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DProp%3Anumber%3D47 |tittel=Euclid ''Elements''. Book I, Proposition 47 |språk=en |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-03-12}}</ref>  Det er vanlig å referere til Euklids bøker med romertall for bindet og et vanlig tall for den gjeldende satsen, slik at Pytagoras’ teorem er I.47.
Beviset for I.47 er basert på en sammenligning av areal.

La <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> være hjørnene i en rettvinklet trekant, med den rette vinkel ved <math>A</math> som vist på figuren. Til hver side i trekanten er det tegnet et [[kvadrat]].  En [[normal (geometri)|normal]] fra hjørnet <math>A</math> til hypotenusen <math>BC</math> deler kvadratet på hypotenusen i to [[rektangel|rektangler]], på figure vist i blått og rosa.  Euklid beviste setningen ved å vise at arealet til hver av de to minste kvadratene er lik arealet av ett av rektanglene, vist med fargene i figuren.  Arealsummen av de to minste kvadratene er dermed lik arealet til det største kvadratet.

Beviset bygger på flere [[lemma (matematikk)|hjelpesetninger]], som Euklid viser tidligere i bok I.  Disse vil bli brukt videre, uten bevis her.
# Hvis to trekanter er slik at to sider i den ene er lik tilsvarende to sider i den andre, og den mellomliggende vinkel er lik i begge, så er trekantene [[Kongruens (geometri)|kongruente]].
# Arealet av en gitt trekant er lik halvparten av arealet i et vilkårlig [[parallellogram]] med samme grunnlinje og høyde.
# Arealet av et  rektangel er lik produktet av to tilstøtende sider.   
# Arealet av et kvadrat er lik produktet av to sider.

Beviset er som følger:
#La <math>ACB</math> være en rettvinklet trekant, med den rette vinkelen gitt ved <math>\angle BAC</math>.
#På hver av sidene <math>BC</math>, <math>AB</math> og <math>CA</math> tegnes kvadrater, henholdsvis <math>CBDE</math>, <math>BAGF</math> og <math>ACIH</math>.
#Fra <math>A</math> trekkes en linje parallell med <math>BD</math> og <math>CE</math>. Den krysser <math>BC</math> og <math>DE</math> i rett vinkel ved henholdsvis <math>K</math> og <math>L</math>.
#Forbind <math>CF</math> og <math>AD</math>. Derved dannes trekantene <math>BCF</math> og <math>ADB</math>.
#Vinklene <math>\angle CAB</math> og <math>\angle BAG</math> er begge rette. Punktene <math>C</math>, <math>A</math> og <math>G</math> ligger derfor på samme linje. Tilsvarende ligger <math>B</math>, <math>A</math> og <math>H</math> på en rett linje.
#Vinklene <math>\angle CBD</math> og <math>\angle FBA</math> er begge rette. Dermed er <math>\angle ABD</math> lik <math>\angle FBC</math>, siden begge er summen av en rett vinkel og den felles <math>\angle ABC</math>.
#Siden <math>AB</math> og <math>BD</math> er tilsvarende like med <math>FB</math> og <math>BC</math>, må trekanten <math>ABD</math> være kongruent med trekanten <math>FBC</math>.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet <math>BDLK</math> være dobbelt så stort som trekanten <math>ABD</math>.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet <math>BAGF</math> være dobbelt så stort som trekanten <math>FBC</math>.
#Dermed må rektangelet <math>BDLK</math> ha samme areal som kvadratet <math>BAGF</math>, det vil si at <math>AB^2 = BD \times BK</math>.
#Tilsvarende kan det vises at rektangelet <math>CKLE</math> må ha samme areal som kvadratet <math>ACIH</math>, det vil si at <math>AC^2 = KL \times KC</math>.
#Ved å addere disse to resultatene: <math>AB^2 + AC^2 = BD \times BK + KL \times KC</math>.
#Siden <math>BD = KL</math>, så er <math> BD \times BK + KL \times KC = BD(BK \times KC) = BD \times BC</math>.
#Dermed er <math>AB^2 + AC^2 = BC^2</math>, siden <math>CBDE</math> er et kvadrat.

Beviset har tidligere vært pensum i norsk [[realskole]].{{tr}} Det finnes enklere bevis, men gjennomgang av fremgangsmåten kan være en egnet øvelse i matematisk tenkning.

Figuren til Euklids bevis, med hjelpelinjer til alle fire kvadrater, er berømt. Den er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale».<ref name=BO119/>
Også navnet [[pons asinorum]] er blitt brukt om figuren.<ref name=ESL120>[[#ESL| E.S. Loomis: ''The Pythagorean proposition'']] s.120 </ref>  Dette latinske utrrykket betyr
«eselbroen» eller «idiotbroen», og uttrykket knyttes vanligvis til en annen Euklid-figur, brukt i forbindelse med ''Elementer'' I.5.<ref>{{kilde bok | forfatter= David Eugene Smith |tittel=History of mathematics |bind=II |forlag=Ginn and Company |år= 1925 |språk=en |side=284 |url=https://archive.org/details/historyofmathema031897mbp/page/n299/mode/2up?q=pons }}</ref>