Redigerer Poincarés tilbakevendingsteorem (avsnitt)

== Formell formulering ==
La

: <math>(X,\Sigma,\mu)</math>

være et begrenset mål og la

: <math>f\colon X\to X</math>

være en målbevarende transformasjon. Nedenfor er to alternative utsagn om setningen.

=== Teorem 1 ===
For alle <math>E\in\Sigma</math>, settet med disse punktene <math> x </math> av <math> E </math> som det finnes <math> N\in\mathbb{N} </math> slik at <math> f ^ n (x) \notin E </math> for alle <math> n> N </math> har null mål.

Med andre ord, nesten hvert punkt i <math> E </math> går tilbake til <math> E </math>. Faktisk kommer nesten hvert punkt tilbake uendelig ofte; ''dvs.''

: <math> \mu\left(\{x\in E:\text{det finnes } N \text{ slik at }
f^n(x)\notin E \text{ for alle } n>N\}\right)=0. </math>

For bevis, se den siterte referansen<ref>{{Kilde www|url=https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6035|tittel=proof of Poincaré recurrence theorem 1|besøksdato=2021-01-30|forfattere=|dato=|verk=planetmath.org|forlag=|sitat=}}</ref>

=== Teorem 2 ===
Følgende er en topologisk versjon av dette teoremet:

Hvis <math> X </math> er et annet tellbart [[Hausdorffrom]] og <math> \Sigma </math> inneholder [[Borel sett|Borel sigma-algebra]], har settet med tilbakevendende punkter for <math> f </math> full måling. Det vil si at nesten hvert punkt er tilbakevendende.

For bevis, se den siterte referansen.<ref>{{Kilde www|url=https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6036|tittel=proof of Poincaré recurrence theorem 2|besøksdato=2021-01-30|forfattere=|dato=|verk=planetmath.org|forlag=|sitat=}}</ref>

Mer generelt gjelder teoremet for konservative systemer, og ikke bare for målebevarende dynamiske systemer. Grovt sett kan man si at konservative systemer er nettopp de som tilbakevendingsteoremet gjelder.