Redigerer Metrisk rom (avsnitt)

== Eksempler på metriske rom==
===Mengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tall===
Mengden av alle [[reelt tall|reelle tall]] <math>\mathbb{R}</math>, kombinert med en metrikk definert som [[absoluttverdi]]en mellom to [[punkt]]er
:<math>d(x, y) = |x - y|</math>
er et metrisk rom.<ref name="ts84-88">[[#ts|G. Buskes, A. van Rooij: ''Topological Spaces'', s. 84–88]]</ref> Vi har her at
:<math>d(x, y) \leq 0</math>
og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>. Videre er
:<math>d(x, y) = | x - y | = | y - x | = d(y, x)</math>
så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle <math>x, y, z \in \mathbb{R}</math> gjelder
:<math>| x - y | \leq | x - z | + | z - y|</math>,
det vil si at trekantulikheten også gjelder.

===Euklidske rom og avstanden mellom to punkter===
Ethvert [[euklidsk rom]] <math>\mathbf{R}^n</math>, der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved
:<math>d(x, y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + ... + (x_n-y_n)^2}</math>
er et metrisk rom.<ref name="rma57-58" /> Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>. Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:
:<math>(x_i - y_i)^2 = (y_i - x_i)^2</math>
for alle i. [[Trekantulikheten]] holder også: For alle punkter <math>x, y, z \in \mathbb{R}^n</math>, vil
:<math>d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math>.<ref>[[#rma|C. C. Pugh: ''Real Mathematical Analysis'', s. 24]]</ref>

Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.

===Euklidske rom og Manhattan-metrikken===
[[Fil:Manhattan_distance.svg|thumb|Manhattan-metrikken er definert langs aksene i et kartesisk koordinatsystem. Den røde, blå og gule linjen representerer samme avstand, den grønne linjen den tilsvarende euklidske metrikken (avstandsmålet).]]
[[Manhattan-metrikk]]en er definert over <math>\mathbb{R}^2</math>, med metrikk gitt ved
:<math>d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = | x_1 - x_2 | + | y_1 - y_2 |</math>
for alle punkter <math>p_1 = (x_1, y_1), p_2 = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2</math>.<ref>{{MathWorld|title=Taxicab Metric|urlname=TaxicabMetric}}</ref> Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.

===Et generelt rom og en diskret metrikk===
Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde [[punkt]]er <math>S</math> og en diskret metrikk, gitt ved<ref name="rma57-58"/><ref name="ts84-88" />
:<math>d(x, y) = \begin{cases}
0 \quad \text{hvis } x = y \\
1 \quad \text{hvis } x \neq y \\
\end{cases}</math>.
Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis <math>x = y</math>, så første betingelse er oppfylt. Hvis <math>x = y</math> så er <math>d(x, y) = d(y, x) = 0</math> og hvis ikke så er <math>d(x, y) = d(y, x) = 1</math>; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis <math>x, y, z</math> er punkter i rommet <math>S</math>, der <math>x = y</math> så gjelder <math>0 = d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math> uansett hva <math>z</math> er. Hvis <math>x \neq y</math> så kan ikke både <math>z = x</math> og <math>z = y</math> (men muligens er én av de sanne) så minst én av <math>d(x, z)</math> og <math>d(z, y)</math> har verdi 1 og dermed gjelder også <math>d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)</math> for alle punkter <math>x, y, z \in S</math>. Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er <math>S</math> med tilhørende metrikk et metrisk rom.