Redigerer Maupertuis’ virkningsprinsipp (avsnitt)

==Matematisk formulering==

Virkningen for en partikkel med masse ''m''  som beveger seg med hastighet ''v = ds/dt'' mellom to punkter ''A'' og ''B'' er gitt ved integralet

: <math> W = m\!\int_A^B\!ds v(\mathbf{r}) </math>

hvor [[Vektor (matematikk)|vektoren]] '''''r'''&thinsp;'' angir posisjonen til partikkelen. Integralet utføres langs en kurve eller bane  '''''r'''(t)'' som forbinder punktet ''A'' hvor partikkelen opprinnelig befinner seg, med punktet ''B'' hvor den ender opp. Prinsippet sier at partikkelen vil følge den banen som gir den minste verdien for dette integralet når man sammenligner baner som alle har samme energi. Dette kan gjøres mest systematisk ved bruk av [[variasjonsregning]]. Man sammenligner da virkningen for banen  '' '''r'''(t)'' med virkningen for den varierte banen {{nowrap|'' '''r'''(t) + &delta;'''r'''(t)''}}. Den resulterende variasjonen av virkningen skal da være like null,

: <math> \delta W = 0\,.   </math>

Dette matematiske kravet betyr da at virkningen er minimal eller maksimal for denne ene banen som da gir den '''klassiske''' bevegelsen. Mer presist sier derfor prinsippet at virkningen skal være '''ekstremal'''.

Her er virkningen ''W'' definert forskjellig fra virkningen ''S'' som inngår i [[Hamiltons virkningsprinsipp]]. De to definisjonene er nært knyttet til hverandre som først vist av den tyske matematiker [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] og bærebjelken i det som kalles [[Hamilton-mekanikk]]. På samme måte som disse to forskjellige definisjonene vanligvis bærer samme navn, omtales også de to tilsvarende [[virkningsprinsipp]]ene ofte i dag litt upresist som '''prinsippene om minste virkning'''.<ref>C.G. Gray and E.F. Taylor, [http://www.eftaylor.com/pub/Gray&TaylorAJP.pdf ''When the action is not least''], American Journal of Physics '''75''' (5), 434 - 458 (2007).</ref>

I definisjonen for virkningen kan vi skrive at ''ds = v dt&thinsp;'' slik at integranden blir proporsjonal med {{nowrap|''v<sup>2</sup> {{=}} '''v'''&sdot;'''v'''''}}. Da den vektorielle hastigheten {{nowrap|'''''v''' {{=}} d'''r'''/dt''}}, kan virkningen derfor også skrives som

: <math> W = \int_A^B\!d\mathbf{r}\cdot\mathbf{p} </math>

hvor '''''p''' = m'''v'''&thinsp;'' er bevegelsesmengden eller [[impuls]]en til partikkelen. Dette uttrykket kan lett generaliseres til å gi virkningen for flere partikler.

===Hamiltons virkningsprinsipp===

Hastigheten ''v'' til partikkelen bestemmer dens [[kinetisk energi|kinetiske energi]] ''T = mv<sup>2</sup>/2''. Befinner den seg i et potensial ''V = V('''r''')'', vil den derfor ha den totale energien {{nowrap|''E {{=}} T + V''}}. Som understreket av  [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]], skal alle varierte baner som inngår i dette virkningsprinsippet, ha den samme energien ''E''. Men alltid  beveger partikkelen seg en infinitesemal veilengde ''ds = vdt'' i det infinitesemale tidsintervallet ''dt''. Derfor kan virkningsintegralet også skrives som

: <math> W = m\!\int_A^B\!dt v^2 =   \int_A^B 2T dt </math>

som i stedet inneholder den kinetiske energien ''T = E - V''. Men nå er  {{nowrap|''2T {{=}} E + T - V''}} slik at variasjonen av virkningen blir

: <math> \delta W = \int_A^B\!dt [\delta E + \delta(T-V)] </math>

Her er første  ledd lik null da ''&delta;E = 0'' fordi energien til den varierte banen må forbli uforandret. Andre leddet inneholder kombinasjonen {{nowrap|''L {{=}} T - V''}} som er [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen. Minste virknings prinsipp kan da skrives som

: <math> \delta \int_A^B\!dt (T-V) = 0 </math>

som er akkurat [[Hamiltons virkningsprinsipp]]. På denne  formen vil det ikke lenger være noen restriksjoner på variasjonene ''&delta;'''r''''' som inngår i beregningen bortsett fra at de varierte banene alle må gå gjennom de gitte ytterpunktene ''A'' og ''B''.

===Fri bevegelse===
Hvis partikkelen befinner seg i en del av rommet hvor ingen krefter virker på den, er potentialet ''V = konst'' og partikkelen beveger seg fritt med konstant hastighet. I dette spesielle tilfellet forenkles virkningen til

: <math> W = mv\!\int_A^B\!ds </math>

Den vil derfor bevege seg slik at veistrekningen ''s'' er kortest mulig, det vil si langs en rett linje i overensstemmelse med [[Newtons første lov]]. Er partikkelen tvunget til å bevege seg på en krum flate, vil den derfor av samme grunn bevege seg langs en [[geodetisk kurve]] på flaten som gir den korteste avstanden mellom de to gitte ytterpunktene til bevegelsen.

For en fri, relativistisk partikkel har virkningen den tilsvarende formen

: <math> W = -mc\!\int_A^B\!ds </math>

hvor ''c'' er [[lyshastigheten]] og ''ds'' nå er ''linjeelementet'' i [[kovariant relativitetsteori|Minkowski-rommet]]. Det kan skrives som ''ds = cd&tau;'' hvis ''&tau;'' betegner [[spesiell relativitetsteori|egentiden]] til partikkelen. Prinsippet om minste virkning sier derfor at partikkelen vil bevege seg slik at dens egentid er maksimal.

Ifølge Einsteins [[generell relativitetsteori|generelle relativitetsteori]] vil partikkelen bevege seg i et [[gravitasjonsfelt]] som om den beveger seg fritt gjennom et krumt [[romtid|tidrom]]. Igjen tilsvarer det en bevegelse som gir maksimal egentid, og partikkelen følger derfor en [[geodetisk kurve]] i det 4-dimensjonale tidrommet.

===Newtons andre lov===

Minste virknings prinsipp er ekvivalent med [[Newtons andre lov]] som bestemmer all bevegelse i [[klassisk mekanikk]]. Det kan man vise ved å ta hensyn til at de varierte banene {{nowrap|'''''r'''(t) + &delta;'''r'''(t)''}} alle må ha samme energi {{nowrap|''E {{=}}  mv<sup>2</sup>/2 + V('''r''')''}}. Variasjonen ''&delta;'''r''''' i partikkelens posisjon må derfor medføre en tilsvarende variasjon i dens hastighet gitt ved {{nowrap|''mv&delta;v {{=}} - ('''&nabla;'''V)&sdot;&delta;'''r'''''}} da betingelsen ''&delta;E = 0'' må være oppfylt. Variasjonen av Maupertuis' virkning er nå

: <math> \delta W = m\!\int_A^B\!(\delta ds\,v + ds\,\delta v) </math>

som kan forenkles ved å skrive det kvadrerte linjeelementet som {{nowrap|''ds<sup>2</sup> {{=}} d'''r'''&sdot;d'''r'''''}}. Derfor er {{nowrap|''ds&delta;ds {{=}} d'''r'''&sdot;&delta;d'''r'''''}} som betyr at {{nowrap|''v&delta;ds {{=}} (d'''r'''/ds)(ds/dt)&sdot;&delta;d'''r''' {{=}} '''v'''&sdot;&delta;d'''r'''''&thinsp;}} hvor {{nowrap|'''''v''' {{=}} d'''r'''/dt''&thinsp;}} er den vektorielle hastigheten. Da {{nowrap|''&delta;d'''r''' {{=}} d&delta;'''r'''''}}, kan man nå foreta en partiell integrasjon av første ledd i integralet. Under betingelse av at variasjonen ''&delta;'''r''''' er null i ytterpunktene ''A'' og ''B'', blir da variasjonen av virkningen

: <math> \delta W = - \int_A^B\!ds\Big[m{d\mathbf{v}\over ds}  + {1\over v}\boldsymbol{\nabla}V\Big]\cdot\delta\mathbf{r} </math>

For at denne skal være null for alle variasjoner  ''&delta;'''r''''', må parentesen under integraltegnet være null. Det er bare mulig hvis hastigheten til partikkelen oppfyller ligningen {{nowrap|''md'''v'''/dt {{=}} - '''&nabla;'''V''}}. Man ser det ved å benytte at {{nowrap|''vd'''v'''/ds {{=}} (ds/dt)&thinsp;d'''v'''/ds {{=}} d'''v'''/dt''}} som er [[akselerasjon]]en '''''a''''' til partikkelen. Siden {{nowrap|'''''F''' {{=}} - '''&nabla;'''V''}} er kraften som virker på den, er resultatet av variasjonsprinsippet derfor ikke noe annet enn [[Newtons andre lov]] {{nowrap|'''''F''' {{=}} m'''a'''''}}. Da dette er en andre ordens differensialligning, vil løsningen gi sluttposisjonen ''B''  som en funksjon av begynnelsesposisjon ''A'', tiden ''t'' og energien ''E'' til bevegelsen.

===Bevegelse som funksjon av tiden===

Som ved bruk av [[Fermats prinsipp]] for beregning av banen til en lystråle, vil Maupertuis' prinsipp i utgangspunktet kun gi ''formen'' til partikkelbanen og ikke hvor raskt partikkelen beveger seg langs denne.  Matematisk er disse to [[virkningsprinsipp]]ene ekvivalente hvor brytningsindeksen ''n&thinsp;'' til lyset tilsvarer hastigheten ''v&thinsp;'' til partikkelen gitt ved potensialet ''V'' gjennom relasjonen {{nowrap|''E {{=}} mv<sup>2</sup>/2 + V('''r''')''}}. Virkningen for en ikke-relativistisk partikkel er dermed gitt ved integralet

: <math> W =  \int_A^B\!ds \sqrt{2m (E - V)} </math>

Resultatet  av integrasjonen vil være en funksjon av energien ''E&thinsp;'' og posisjonene til de to ytterpunktene ''A'' og ''B''. Beregner man så den deriverte av denne funksjonen, finner man at

: <math>  {\partial W\over\partial E} =  \int_A^B\!{ds\over \sqrt{(2/m) (E - V)}}  =  \int_A^B\!{ds\over v} = \int_A^B\!dt </math>

hvor det siste integralet gir tiden ''t'' som partikkelen behøver fra ''A'' til ''B''. Denne ligningen gir nå en implisitt sammenheng mellom begynnelsesposisjonen ''A'', sluttposisjonen ''B''  og tidsforløpet ''t'' og er den samme som ville ha fulgt fra en direkte løsningen av den ekvivalente ligningen til Newton.