Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

==Beregning av magnetfelt==

Mens man i [[elektrostatikk]]en kan beregne det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] fra en vilkårlig fordeling av elektriske ladninger ved bruk av den generelle formuleringen av [[Coulombs lov]], kan man beregne det magnetiske feltet fra en vilkårlig strømfordeling ved hjelp av [[Biot-Savarts lov]]. Hvis den konstante strømmen ''I&thinsp;'' går i en tynn ledning, er feltet i punktet '''r''' da gitt ved  [[integral#Linjeintegral|linjeintegralet]]

: <math> \mathbf B(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\! {d\mathbf{s'}\times (\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

hvor ''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' er et differensielt element av ledningen i et punkt '''r'&thinsp;''' på den. Strømmen går i en lukket krets og integralet går rundt hele kretsen. Bidragene fra forskjellige deler av kretsen avtar omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden til dem. Derfor får feltet i et punkt de viktigste bidragene fra de delene av strømkretsen som ligger nærmest feltpunktet '''r'''.<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref>

===Rett strømledning===
[[Fil:Gerader leiter.svg|thumb|240px|Magnetisk [[feltlinje]]r rundt en rett strømleder.]]
En uendelig rett strømledning langs ''z''-aksen kan betraktes som en lukket krets hvor returstrømmen skjer uendelig langt borte. Er feltpunktet '''r''' på ''y''-aksen i avstand ''a'' fra ledningen,  vil {{nowrap|'''r''' - '''r'&thinsp;''' {{=}} ''a''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> - ''z''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>&thinsp;}} for et kildepunkt på ''z''-aksen i  {{nowrap|'''r'&thinsp;''' {{=}} ''z''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>}}. Da er også {{nowrap|''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' {{=}} ''dz''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>&thinsp;}} slik at 

: <math> d\mathbf{s'}\times (\mathbf{r} - \mathbf{r'}) = -dz a \mathbf{e}_x  </math>

Magnetfeltet vil derfor i dette punktet være rette motsatt  ''x''-aksen. Det er en manifestasjon av [[høyrehåndsregelen]] for [[vektorprodukt]]et.

Integralet kan nå lett utføres ved å la vinkelen ''&theta;''&thinsp; som vektoren {{nowrap|'''r''' - '''r'&thinsp;'''}} danner med ''y''-aksen, bli ny integrasjonsvariabel i stedet for ''z''. Da er {{nowrap|''z'' {{=}} ''a''&thinsp;tan''&theta;''}} som betyr at ''dz = ad&theta;''/cos<sup>2</sup>''&theta;''. Da man i tillegg  nå har at  avstanden |'''r''' - '''r'&thinsp;'''| = ''a''/cos&thinsp;''&theta;'', blir integralet for magnetfeltet i dette punktet

: <math> \mathbf B(\mathbf{r}) =  -\frac{\mu_0 I}{4\pi a}  \mathbf{e}_x  \int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta \cos\theta = -\frac{\mu_0 I}{2\pi a} \mathbf{e}_x  </math>

Det står normalt på strømledningen og på korteste forbindelseslinje til denne. Da det bare avhenger av avstanden til ledningen, danner magnetfeltet [[sirkel|sirkler]] om ledningen med sentrum i denne. Dette resultatet kan også utledes fra [[Ampères sirkulasjonslov]].

===Sirkulær strømsløyfe===
[[Fil:Stromschleife.svg|thumb|200px|left|Magnetiske feltlinjer skapt av en sirkulær strømsløyfe.]]
Magnetfeltet som skapes av en sirkulær strømsløyfe, kan ikke regnes analytisk ut i vilkårlige feltpunkt. Men for punkt  som ligger på symmetriaksen, lar det seg gjøre på en tilsvarende måte. Har sløyfen radius ''a'' og ligger i ''xy''-planet, er da feltpunktet i {{nowrap|'''r''' {{=}} ''z''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>}}, mens kildepunktet er {{nowrap|'''r'&thinsp;''' {{=}} ''a''&thinsp;(cos''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + sin''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>)}}. Det betyr at {{nowrap|''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' {{=}} ''ad&phi;''&thinsp;(- sin''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + cos''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>)}}. Ved å benytte at nå er

: <math> |\mathbf{r} - \mathbf{r'}| = (a^2 + z^2)^{1/2},  </math>

er det totale magnetfeltet i et punkt på ''z''-aksen gitt ved integralet

: <math> \mathbf B(z) =  \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_0^{2\pi}\!d\phi {az\cos\phi\,\mathbf{e}_x + az\sin\phi\,\mathbf{e}_y + a^2\,\mathbf{e}_z \over (a^2 + z^2)^{3/2}} </math>

De to første delintegralene gir null som også er forventet av symmetrigrunner. Feltet resulterer derfor fra den siste termen som betyr at det er rettet langs ''z''-aksen
og er gitt som

: <math> \mathbf B(z) = \frac{\mu_0 I}{2} {a^2\,\mathbf{e}_z \over  (a^2 + z^2)^{3/2}} </math>

Ved store avstander ''z >> a'' fra sløyfen avtar magnetfeltet som ''B'' = ''&mu;''<sub>0</sub>''m''/2''&pi;&thinsp;z''<sup>3</sup>&thinsp; hvor ''m'' = ''I&thinsp;&pi;&thinsp;a''<sup>2</sup>&thinsp; er det [[magnetisk moment|magnetiske moment]] til strømsløyfen. Den virker da som en [[magnetisk dipol]] som i et vilkårlig punkt '''r''' langt fra sløyfen er omgitt med et magnetfelt

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) =   {\mu_0\over 4\pi r^3}\Big(3(\mathbf{m}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{m}\Big) </math>

hvor <math>\hat\mathbf{r}</math> = '''r'''/|'''r'''|&thinsp; er en enhetsvektor retning '''r'''. Når dipolmomentet '''m''' er rettet langs ''z''-aksen slik at '''m''' = ''m''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>, gir denne formelen for magnetfeltet et resultat i overensstemmelse med hva man ville få fra Biot-Savarts lov anvendt mer generelt enn for punkt på ''z''-aksen.

===Ideell spole===
[[Fil:VFPt Solenoid correct2.svg|thumb|300px|right|Feltlinjer gjennom en strømførende [[spole (induktans)|spole]].]]
Hvis en strømførende ledning blir viklet som en [[spole (induktans)|spole]] som består av mange sløyfer med sammenfallende akse, vil det resulterende magnetfeltet langs aksen bli proporsjonalt med antall slike viklinger. Det kan derfor gjøres mye kraftigere. Størrelsen kan finnes ved å summere eller integrere bidragene fra hver enkelt sløyfe.<ref name = Zangwill/>

I grensen hvor spolen blir lang og smal, vil feltet inni spolen bli approksimativt konstant. Man har da en «ideell spole». Bortsett fra ved endene til denne spolen, blir magnetfeltet utenfor den tilsvarende svakt eller neglisjerbart da her bidragene fra de to sidene av spolen vil tilnærmelsesvis kansellere hverandre.<ref name = Griffiths/>  

Med denne geometrien kan størrelsen på magnetfeltet inni spolen alternativt bli beregnet mer direkte ved bruk av [[Ampères sirkulasjonslov]]. Man benytter da en lukket integrasjonsvei som er et [[rektangel]] med en side av lengde ''b'' parallell med aksen og inni spolen, mens den andre ligger utenfor hvor feltet antas å være null. De to andre sidene i rektangelet bidrar ikke til integralet

: <math> \oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{s} = I_{tot} </math>

hvor ''I<sub>tot</sub>''&thinsp; er den totale strømmen som går gjennom integrasjonsveien. Denne er gitt som ''NI'' hvis den  omslutter ''N'' viklinger. Sirkulasjonsloven fører da til at magnetfeltet inni spolen er gitt ved sammenhengen ''bH = NI'' eller ganske enkelt som ''H = nI''&thinsp; hvor ''n = N/b'' er antall vindinger per lengdeenhet langs spolens akse. Ofte skrives dette som ''n = N/L'' hvor nå ''N'' er det totale antall vindinger i spolen som har lengde ''L''. Det magnetiske fluksfeltet inni i spolen er da gitt som

: <math> B = \mu_0 I{N\over L} </math>

da spolens indre antas å være tom slik at man der kan skrive  ''B'' = ''&mu;''<sub>0</sub>''H''&thinsp;. Dette resultatet benyttes ofte i beregning av [[magnetisk krets|magnetiske kretser]].