Redigerer Linje (avsnitt)

==Linjer i det kartesiske planet==
I et [[kartesisk koordinatsystem]] har posisjonsvektoren {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>''A''</sub> + '''v'''''t''}} for hvert punkt på linjen koordinatene (''x,y'').
Vektoren '''v''' ligger langs linjen. Ved å innføre vektoren '''n''' med komponentene (''a,b'') som står vinkelrett på denne slik at '''n'''&sdot;'''v''' = 0, kan linjen beskrives algebraisk som den [[lineært ligningssystem|lineære ligningen]]

: <math> ax + by + c = 0 </math>

Her angir konstanten ''c'' =  - '''n'''&sdot;'''r'''<sub>''A''</sub> hvor langt linjen ligger fra [[origo]] til koordinatsystemet. Mer kompakt kan derfor ligningen for linjen skrives som {{nowrap|'''n'''&sdot;'''r''' + ''c'' {{=}} 0}}.

Hvis {{nowrap|''b'' &ne; 0}}, er linjen ikke parallell med ''y''-aksen og den kan da forenkles til

: <math> y = kx + l </math>

Her er ''k'' = - ''a''/''b''&thinsp; [[stigningstall]]et til linjen, mens  ''l'' = - ''c''/''b''&thinsp; angir hvor den skjærer ''y''-aksen og kalles for ''konstantleddet''.

To linjer ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0 og ''a'x'' + ''b'y'' + ''c'&thinsp;'' = 0 som står [[vinkelrett]] på hverandre, vil ha normaler {{nowrap|'''n''' {{=}} (''a,b'')}} og {{nowrap|'''n'''' {{=}} (''a',b'&thinsp;'')}} som oppfyller {{nowrap|'''n'''&sdot;'''n'&thinsp;''' {{=}} 0}}. Da dette betyr at {{nowrap|''aa'&thinsp;'' + ''bb'&thinsp;'' {{=}} 0}}, vil de to stigningstallene {{nowrap|''k'' {{=}} - ''a''/''b''}} og {{nowrap|''k'&thinsp;'' {{=}} - ''a'&thinsp;''/''b'&thinsp;''}} være relatert som {{nowrap|''kk'&thinsp;'' {{=}} - 1}}.

For en linje som går gjennom to punkt ''A'' = (''x''<sub>''A''</sub>,''y''<sub>''A''</sub>) og ''B'' = (''x''<sub>''B''</sub>,''y''<sub>''B''</sub>), er stigningstallet

: <math> k = {y_B - y_A\over x_B - x_A} </math>

Ligningen for denne linjen er da gitt ved koordinatene til disse to punktene og kan skrives som {{nowrap|''y'' {{=}} ''k''(''x'' − ''x''<sub>''A''</sub>) + ''y''<sub>''A''</sub>}}. Setter man her inn uttrykket for ''k'', kan ligningen uttrykkes ved en [[determinant]] som

:<math> \det\begin{pmatrix}x & x_A & x_B \\ y & y_A & y_B \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}  = 0. </math>

På denne formen kan man lett finne ut om tre punkter i planet ligger på en rett linje.