Redigerer Larmors formel (avsnitt)

==Utledning==

I sin utledning av strålingsformelen beregnet Larmor det [[elektrisk felt|elektriske]] og [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] fra en ladet partikkel i bevegelse ved å løse Maxwells ligninger i stor avstand fra denne.<ref name = Jackson> J. D. Jackson, ''Classical Electrodynamics'', John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.</ref> Med antagelse av at partikkelen har en hastighet {{nowrap|''v'' << ''c''}}, kan disse feltene i et punkt '''r''' langt borte fra partikkelen ved  tidspunktet ''t'' beregnes fra [[Elektromagnetisk felt#Elektromagnetisk stråling|vektorpotensialet]]

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi r}\mathbf{v}(t - r/c) </math>

Det tilsvarende magnetfeltet følger fra definisjonen  {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}} som gir

: <math> \mathbf{B} (\mathbf{r}, t) = - {q\mu_0\over 4\pi rc} {\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v}}(t - r/c) </math>

hvor <math>  \mathbf{a} = \dot\mathbf{v} </math> er [[akselerasjon]]en til partikkelen og enhetsvektoren '''n''' = '''r'''/''r'' peker mot feltpunktet i retning '''r'''. Magnetfeltet står som forventet [[vinkelrett]] på denne retningen. På tilsvarende måte er det elektriske feltet gitt ved '''E''' = ''c''&thinsp;'''B'''&thinsp;&times;&thinsp;'''n''' og står derfor vinkelrett både på '''B''' og utbredelsesretningen '''n'''. 

===Differensiell utstråling===

Den utstrålte energien per tidsenhet og flateenhet i denne retningen er nå gitt som '''n'''&sdot;'''S''' hvor  '''S''' = '''E'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' er [[Poyntings vektor]] og {{nowrap|'''H''' {{=}} '''B'''/''&mu;''<sub>0</sub>}} i vakum. Betrakter man en liten [[romvinkel]] ''d&Omega;'' i stråleretningen, er dermed energistrømmen gjennom denne gitt som

: <math> {dP\over d\Omega} =  r^2\mathbf{n}\cdot\mathbf{S} =  {q^2\mu_0\over 16\pi^2 c}(\mathbf{n}\times\dot\mathbf{v})^2</math>

I denne ikke-relativistiske grensen er energiutstrålingen uavhengig av hastigheten til partikkelen og dennes retning. Kaller man vinkelen mellom vektorene '''a''' og '''n''' for ''&theta;'', tar resultatet formen

: <math> {dP\over d\Omega} =  {q^2 a^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^3}\sin^2\theta </math>

ved å benytte at ''c&mu;''<sub>0</sub>  =  1/''c&epsilon;''<sub>0</sub>. Strålingen er derfor konsentrert i retninger som er nærmest normalen til akselerasjonen og uavhengig av den [[asimut]]ale vinkelen ''&phi;'' om denne. Dette er Larmors formel på differensial form.

===Integrert utstråling===
De to vinklene ''&theta;'' og ''&phi;'' utgjør vanlige [[kulekoordinater]] slik at man kan skrive romvinkelen som ''d&Omega;'' = sin''&theta;d&theta;''&thinsp;''d&phi;''. Den utstrålte energien i alle retninger og per tidsenhet finnes ved integrasjon over disse vinklene. Da formelen er uavhengig av ''&phi;'', gir denne integrasjonen ganske enkelt 2''&pi;''. For integrasjonen over ''&theta;'', kan man innføre ''x'' = cos''&theta;'' slik at sin<sup>2</sup>''&theta;'' = 1 - ''x''<sup>&thinsp;2</sup>. Da reduseres  det gjenværende integralet til

: <math> \int_{-1}^1\!dx (1 - x^2) = {4\over 3} </math>

og gir den integrerte formelen

: <math> P = {q^2 \dot{v}^2\over 6\pi\varepsilon_0 c^3} </math>

Siden dette resultatet er uavhengig av hastigheten til partikkelen, er det også gyldig i dens instantane hvilesystem hvor den har null hastighet. Spesiell relativitetsteori sier nå at resultatet må være gyldig i et vilkårlig referansesystem der partikkelen beveger seg med hastigheten '''v'''.  Ved å skrive resultatet på en [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-invariant]] måte, kan det så vises at den relativistisk korrekte Larmor-formelen er

: <math> P = {q^2\gamma^6\over 6\pi\varepsilon_0 c^3} \Big[ \dot\mathbf{v}^2 - (\dot\mathbf{v}\times\mathbf{v}/c)^2\Big]  </math>

hvor ''&gamma;''<sup>&thinsp;2</sup> = 1/(1 - ''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''c''<sup>&thinsp;2</sup>) er den kvadrerte [[Spesiell relativitet#Utledning av Lorentz-transformasjonen|Lorentz-faktoren]]. Utstrålingen øker derfor kraftig når partikkelhastigheten nærmer seg lyshastigheten.<ref name = Jackson/>

Dette generelle resultatet ble funnet allerede i 1898 av Alfred-Marie Liénard som en konsekvens av [[Liénard-Wiechert-potensial]]ene.<ref name = L> A. -M. Liénard, ''Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique'', Éclairage Électr. '''16''', 5–14 (1898).</ref>  At dette kunne gjøres flere år før [[Einstein]] hadde formulert sin [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteori]], skyldes at Maxwell-teorien i utganspunktet er i overensstemmelse med Einsteins teori. I den ikke-relativistiske grensen der {{nowrap|''v'' << ''c''}}, kan det siste leddet i det generelle uttrykket neglisjeres, og man står igjen med den opprinnelige formelen til Larmor.