Redigerer Kvantisert Hall-effekt (avsnitt)

==Eksperimentelle resultat==
Ved å la den påtrykte strømmen gå i ''x''-retning, kan den skrives som ''I'' = ''J<sub>x</sub>&thinsp;b'' hvor ''b'' er bredden til den plane lederen. Dermed  oppstår det en transvers spenning {{nowrap|''V<sub>H</sub>'' {{=}}  ''E<sub>y</sub>&thinsp;b''}} som skyldes at det har bygd seg opp en ladningsforskjell i ''y''-retning som gjør at strømmen  ''J<sub>y</sub>&thinsp;'' i denne retningen er null. Det er denne spenningen som måles og uttrykkes ved '''Hall-motstanden'''

: <math> R_{xy} = {V_H\over I}  = {E_y\over J_x}  = \rho_{yx}  = -   \rho_{xy}</math>

Når systemet er todimensjonalt, kan derfor resistiviteten direkte måles uavhengig av geometrien til lederen. For temperaturer og magnetfelt under normale forhold er denne gitt ved det klassiske resultatet ''&rho;<sub>xy</sub>'' =  ''B''&thinsp;/''ne''. For en gitt ladningstetthet ''n'', øker den linært med magnetfeltet i overensstemmelse med målingene.

[[Fil:Quantum Hall effect - Russian.png|thumb|300px|right|Den kvantiserte Hall-effekten arter seg ved at Hall-motstanden ''&rho;<sub>xy</sub>&thinsp;'' opptrer i veldefinerte trinn samtidig som den [[langsgående akse|longitudinale]] motstanden ''&rho;<sub>xx</sub>&thinsp;'' blir null.]] 
I 1975 viste Ando, Matsumoto og Uemura at  Hall-effekten ville få en mer komplisert oppførsel ved lave temperaturer og sterke magnetfelt.<ref name = AMU>T. Ando, Y. Matsumoto and Y. Uemura, [https://journals.jps.jp/doi/pdf/10.1143/JPSJ.39.279 ''Theory of Hall Effect in a Two-Dimensional Electron System''], Journal Physical Society of Japan '''39''' (2), 279-288 (1975).</ref> Da må ladningstransporten forklares [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] med den konsekvens at motstanden ikke lenger ville øke proporsjonalt med ''B'', men i bestemte trinn av størrelsesorden ''h''/''e''<sup>&thinsp;2</sup>.

Denne forutsigelsen ble eksperimentelt verifisert i 1980 av [[Klaus von Klitzing]] som benyttet den todimensjonale elektrongassen i en [[transistor|MOSFET transistor]] i et magnetfelt med en styrke på over 10&thinsp;[[tesla|T]] og temperaturer under 4&thinsp;[[Kelvin|K]] fra flytende [[helium]]. Trinnene i den målte Hall-motstanden var meget tydelige og kunne bestemmes med stor nøyaktighet som

: <math>  \rho_{xy} = {1\over\nu} R_K </math>

hvor heltallet ''&nu;'' kan ta verdiene (1, 2, 3, ... ) og ''R<sub>K</sub>'' = ''h''/''e''<sup>&thinsp;2</sup> = 25813&thinsp;&Omega; er von Klitzings konstant. 
Siden dette var en makroskopisk konsekvens av kvantemekanikken, var det naturlig å si at Hall-effekten er [[kvantisering|kvantisert]] under slike forhold.<ref name = Klitzing>K. von Klitzing, [https://web.archive.org/web/20110707025318/http://hrma.physics.sjtu.edu.cn/PhysicsHorizon/25yearsQHE-lecture.pdf ''25 Years of Quantum Hall Effect (QHE)''], Poincaré Seminar, Paris (2004).</ref>

Så lenge Hall-motstanden forble konstant på et trinn, viste målingene at den longitudinale restiviteten {{nowrap|''&rho;<sub>xx</sub>'' {{=}} 0}}.  I den klassiske Drude-modellen må det bety at kollisjonstiden ''&tau;&thinsp;'' for elektronene blir uendelig stor slik at det ikke er noen spredning i deres bevegelse.

Lignenede eksperiment under andre forhold og med forskjellige materialer ga resultat i overensstemmelse med disse første målingene. I 1982 viste [[Horst Ludwig Störmer|Horst Störmer]] og [[Daniel C. Tsui|Daniel Tsui]] at ved å gå til enda lavere temperaturer og sterkere magnetfelt med en plan transistor basert på [[galliumarsenid|GaAs]], åpnet det seg større trinn i Hall-motstanden som tilsvarer rasjonelle verdier ''&nu;'' =  (1/3, 2/5, 3/7, . .). For denne oppdagelsen av den '''fraksjonelle Hall-effekten''' fikk  de [[Nobelprisen i fysikk]] i 1998.<ref name = Stormer>H.L. Stormer, [https://journals.aps.org/rmp/pdf/10.1103/RevModPhys.71.875 ''Nobel Lecture: The fractional quantum Hall effect''], Reviews of Modern Physics '''71''' (4), 875-889 (1999).</ref>

Et enkelt lag med [[grafén]] er elektrisk ledende og er derfor virkelig todimensjonalt system på atom-nivå. Her er en kvantisert Hall-effekt blitt eksperimentelt påvist ved [[romtemperatur]].<ref name = graphene>Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stormer and P. Kim, ''Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene'', Nature '''438''' 201, (2005).</ref> Kvantiseringen av elektronene i dette materialet kan ikke beskrives ved den vanlige [[Schrödinger-ligning]]en, men må gjøres med den relativistiske [[Dirac-ligning]]en slik at trinnene i motstanden har en mer komplisert struktur.<ref name = Goerbig>M.O. Goerbig, [https://arxiv.org/pdf/0909.1998.pdf ''Quantum Hall Effects''].  Les Houches forelesninger (2009).</ref>