Redigerer Knuteteori (avsnitt)

==Krysningstall==

For å kunne klassifisere knuter er '''krysningstallet''' ''K'' det enkleste og viktigste. Når knuten er avbildet ved forskjellige knutediagram, er krysningstallet definert som det minste antall krysninger som dermed fremkommer. Nullknuten har derfor krysningstallet ''K'' = 0. Krysningstallet er en topologisk invariant.<ref name = Adams>C.C. Adams, ''The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots'', American Mathematical Society, Providence, RI (2001). ISBN 0-8218-3678-1.</ref>

[[Fil:Trefoil knot left.svg|thumb|200px|left|En av de to trekløverknutene.]] [[Fil:Blue Figure-Eight Knot.png|thumb|200px|right|Åttetallsknuten har ''K'' = 4.]]
Det finnes ingen knuter med krysningstall  ''K'' = 1 eller 2. Den enkleste, ikke-trivielle knuten har ''K'' = 3. Denne kalles gjerne for «trekløverknuten» og tilsvarer den gamle [[trikvetra]]figuren. Man kan lage den ved å feste sammen endene til en [[burknop]]. Da trekløverknuten kan skilles fra sitt eget speilbilde hvor underkrysninger går over i overkrysninger og omvendt, har den en bestemt [[chiralitet]]. Vanligvis skiller man ikke mellom disse to versjonene.

Hvis man fester sammen endene til en [[åttetallsknop]], fremkommer «åttetallsknuten». Den har krysningstall ''K'' = 4 og er identisk med sitt eget speilbilde. Det finnes ingen andre knuter med samme krysningstall.

Øker krysningstallet ut over 4, finner man stadig flere knuter. Noen av disse kan forenkles ved å betrakte dem som sammensatt av enklere '''primknuter'''. Disse spiller samme rolle som [[primtall]]ene i [[tallteori]]. Klassifisering av alle knuter blir dermed redusert til å finne alle primknutene. Dette programmet ble startet allerede av Tait og har fortsatt frem til i dag og fullført for primknuter med ''K'' &le; 16.<ref name = Silver/>

[[Fil:Sum of knots3.png|thumb|360px|right|Denne knuten er satt sammen av en trekløverknute 3<sub>1</sub> til venstre og en åttetallsknute 4<sub>1</sub> til høyre. De er begge primknuter.]]
For hvert krysningstall ''K'' > 4 finnes det flere enn en primknute. Det er derfor blitt vanlig å angi dem med notasjon ''K<sub>n</sub>&thinsp;'' hvor ''n'' = 1,2,3,... angir hvilken primknute man mener med krysningstallet ''K''. Her skilles det ikke mellom «chirale» og «achirale» knuter. I denne notasjonen  finnes det derfor bare en trekløverknute 3<sub>1</sub>. Det finnes også bare en knute med krysningstall ''K'' = 4, og det er åttetallsknuten 4<sub>1</sub>. Men det er to primknuter 5<sub>1</sub> og 5<sub>2</sub> med krysningstall ''K'' = 5 og tre med ''K'' = 6. Mens det er syv med ''K'' = 7, øker antallet stadig raskere for større krysningstall. Mens det er 165 primknuter med ''K'' = 10, er det hele {{nowrap|1&thinsp;388&thinsp;705}} med ''K'' = 16.<ref name = Adams/>