Redigerer Hamilton-operator (avsnitt)

==Eksempel==

Mange ganger kan Hamilton-operatoren finnes direkte fra den klassiske [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] til systemet. Den beskriver dets totale energi og kan for ikke-relativistiske partikler splittes opp i [[kinetisk energi|kinetisk]] og [[potensiell energi]]. For det enkleste tilfellet med én partikkel med masse ''m&thinsp;'' som beveger seg i et statisk potensial er Hamilton-funksjonen

: <math> H = {\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{x})  </math>

De dynamiske variable er her partikkelens posisjon '''x''' og dens impuls '''p'''. Ved å benytte en [[Kvantemekanikk#Posisjonsbasis|posisjonsbeskrivelse]] finnes nå den tilsvarende Hamilton-operatoren ved å la impulsvektoren bli erstattes med derivasjonsoperatoren '''p''' &rarr; - ''iħ''&thinsp;'''&nabla;''' slik at den blir

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x})  </math>

Den inneholder derfor [[Laplace-operator]]en '''&nabla;'''<sup>&thinsp;2</sup>. Det er på denne formen av Hamilton-operatoren at energinivåene i [[hydrogenatom]]et vanligvis beregnes.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

Hamilton-operatoren for mange ikke-relativistiske partikler kan på lignende vis finnes fra Hamilton-funksjonen ved å erstatte impulsvektoren '''p'''<sub>''n''</sub> for hver av dem med den tilsvarende derivasjonsoperatoren - ''iħ''&thinsp;'''&nabla;'''<sub>''n''</sub> som virker på koordinatene '''x'''<sub>''n''</sub> til hver av partiklene.

===Relativistiske partikler===

For partikler som beveger seg med hastigheter som nærmer seg [[lyshastighet]]en ''c'',  kan det ikke uten videre finnes en enkel Hamilton-operator. Men for ikke altfor høye hastigheter kan man benytte det [[Spesiell relativitetsteori#Relativistisk impuls|approksimative uttrykket]] 

: <math> H = \sqrt{m^2c^4 + \mathbf{p}^2 c^2} = mc^2 + {\mathbf{p}^2\over 2m} - {\mathbf{p}^4\over 8m^3c^2} + \cdots </math>

for Hamilton-funksjonen når  impulsen ''p'' < ''mc''. Den relativistiske korreksjonen proporsjonal med '''p'''<sup>4</sup> vil dermed gi opphav til et ledd med '''&nabla;'''<sup>&thinsp;4</sup> i den resulterende Hamilton-operatoren og kan beregnes ved  kvantemekanisk [[Kvantemekanisk perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]].<ref name = Griffiths/>

En mer fundamental beskrivelse kan gis for en partikkel med [[spinn]] ''s'' = 1/2 ved bruk av [[Dirac-ligning]]en. Bølgefunksjonen &Psi;(''t&thinsp;'') må da utvides til å bli en ''spinor'' med fire komponenter. Når partikkelen befinner seg i et ytre potensial, kan dens kvantemekaniske egenskaper på den måten finnes ved bruk av Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} =  c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat\mathbf{p} + \beta mc^2 + V(\mathbf{x}) </math>

hvor '''&alpha;''' =  (''&alpha;<sub>x</sub>'', ''&alpha;<sub>y</sub>'', ''&alpha;<sub>z</sub>'') og ''&beta;&thinsp;'' er fire 4&times;4 [[matrise]]r og impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Men denne Hamilton-operatoren har også egenverdier for energien som kan være negative.  Slike løsninger av Dirac-ligningen betyr at den også beskriver [[antipartikkel|antipartikler]] og derfor ikke lenger er en énpartikkel-ligning.<ref name = Gross> F. Gross, ''Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1993). ISBN 0-471-59113-0.</ref>

===Partikkel i elektromagnetisk felt===

Når partikkelen har en [[elektrisk ladning]] ''q'', kan den vekselvirke både med [[Elektrisk felt|elektriske felt]] '''E''' og [[Magnetisk felt|magnetiske felt]] '''B''' som begge kan variere både med tiden og posisjonen til partikkelen. Begge disse koblingene bidrar til dens potensielle energi. De kan uttrykkes ved bruk av det tilsvarende [[Elektrisk potensial|elektriske potensialet]] {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;('''x''',''t'')}} og det [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|magnetiske potensialet]] {{nowrap|'''A''' {{=}} '''A'''('''x''',''t'')}} ved sammenhengene {{nowrap|'''E''' {{=}}  - &part;&thinsp;'''A'''/&part;&thinsp;''t'' - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;&thinsp;}} og {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;''' &times; '''A'''}}. Da vekselvirkningen skal være invariant under [[gaugetransformasjon]]er, vil den inngå i [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen på en bestemt måte. Den blir

: <math> L = {1\over 2}m \mathbf{v}^2 - q\Phi  + q \mathbf{v}\cdot\mathbf{A} </math>

hvor '''v''' = d'''x'''/d''t&thinsp;''  er hastigheten til partikkelen. For å finne den tilsvarende Hamilton-funksjonen behøver man partiklens [[Lagrange-mekanikk#Bevegelseskonstanter|konjugerte impuls]]. Den blir nå {{nowrap|'''p''' {{=}} &part;''L''/&part;'''v'''}} = ''m''&thinsp;'''v''' + ''q''&thinsp;'''A'''. Dermed tar Hamilton-funksjonen den kompakte formen

: <math>\begin{align} H &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{p} - L\\  &= {1\over 2m}\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + q\Phi \end{align} </math>

Igjen kan Hamilton-operatoren finnes herfra ved substitusjonen <math> \mathbf{p} \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla} .</math> Det er da viktig å ta hensyn til at denne impulsoperatoren ikke [[Kommutativ lov|kommuterer]] med posisjonen '''x''' som inngår i vektorpotensialet.<ref name = Liboff/>

Kravet om en gaugeinvariant kobling til de elektromagnetiske feltene bestemmer også hvordan de inngår i Dirac-ligningen. Den tilsvarende Hamilton-funksjonen blir da

: <math> H = c\boldsymbol{\alpha}\cdot(\mathbf{p} - q\mathbf{A}) + \beta mc^2 +q\Phi </math>

Siden potensialene '''A''' og &Phi; generelt  varier med tiden, vil ikke disse Hamilton-operatorene ha noen entydige egenverdier. Det betyr at de elektromagnetiske koblingene vil påvirke det fysiske systemet ved at det foretar kvantesprang mellom ellers stabile eller stasjonære tilstander.<ref name = Gross/>