Redigerer Gravitasjonspotensial (avsnitt)

==Jordens gravitasjonspotensial==
Med stor nøyaktighet er [[Jorden]] en kuleformet masse. Har den radius ''R'', er gravitasjonspotensialet på overflaten lik med {{nowrap|&Phi;<sub>0</sub> {{=}} - ''GM''/''R''}}. I en høyde ''h'' over jordoverflaten er det øket til {{nowrap|&Phi; {{=}} - ''GM''/(''R + h'')}}. Så lenge som {{nowrap|''h'' << ''R''}}, kan dette forenkles til {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;<sub>0</sub> + ''gh''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''g {{=}} GM''/''R''<sup>2</sup> {{=}} 9.82 m/s<sup>2</sup>&thinsp;}} er [[tyngdeakselerasjon]]en på Jordens overflate. Da &Phi;<sub>0</sub> her kan betraktes som en konstant, er det vanlig å si at gravitasjonspotensialet ved Jordens overflate ganske enkelt er {{nowrap|&Phi; {{=}} ''gh''}}.

En masse ''m'' som slippes løs i høyden ''h'', vil begynne å falle nedover med økende hastighet ''v''. Etter å ha falt ned til overflaten ''h'' = 0, er den potensielle energien {{nowrap|''m''&thinsp;&Phi;}} gått over til [[kinetisk energi]] ''mv''<sup>2</sup>/2. Massen har da fått en hastighet 

: <math> v = \sqrt{2gh} </math>

som følger fra energibevarelse. Hastigheten er uavhengig av størrelsen ''m'', noe som er grunnlaget for [[ekvivalensprinsippet]] som ble først formulert av [[Galileo Galilei]].<ref name = HB> G. Holton and S.G. Brush, ''Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond'', Rutgers University Press, New Brunswick (2006). ISBN 0-8135-2907-7.</ref>

Inni Jorden kan man bruke [[Newtons skallteorem]] til å finne gravitasjonspotensialet. Det sier at [[gravitasjonsfelt]]et i en viss avstand ''r&thinsp;'' fra sentrum til en sfærisk symmetrisk massefordeling er bestemt alene av massen innenfor et kuleskall med radius ''r''. For ''r'' < ''R'' er derfor tyngdeakselerasjonen ''g''(''r'') = ''gr''/''R'' når man antar at massetettheten ''&rho;'' er konstant. Gravitasjonspotensialet i dette området er derfor gitt ved

: <math> \Phi - \Phi_0 = \int_R^r g(r) dr = {g\over 2R} (r^2 - R^2) </math>

Siden man har at &Phi;<sub>0</sub> = - ''gR'', kan man skrive resultatet som

: <math> \Phi = {g\over 2R} (r^2 - 3R^2) \qquad r\leq R </math>

Det har verdien  -3''gR''/2&thinsp; i Jordens sentrum og øker derfra med kvadratet av radius. Ved Jordens overflate går det kontinuerlig over i potensialet {{nowrap|&Phi; {{=}} - ''GM''/''r''&thinsp;}}  som gjelder i området utenfor der {{nowrap|''r > R''}}.<ref name = Tipler> P.A. Tipler, ''Physics'', Worth Publishers Inc, New York (1982). ISBN 0-8790-1135-1.</ref>

===Unnslipningshastighet===
[[Fil:Newton Cannon.svg|thumb|Bevegelsen til prosjektilet er avhengig av utskytningshastigheten. Mens A og B er deler av [[ellipse]]baner med lav hastighet, viser C og D bundne baner omkring Jorden. I tilfellet E forlater prosjektilet Jorden langs en [[hyperbel]]bane.]]
Skytes en ball ut med en kanon eller sendes en [[rakett]] opp fra Jorden og man ser bort fra [[luftmotstand]]en, vil den følge en [[Keplers lover|Kepler-bane]] som er et [[kjeglesnitt]] med Jordens sentrum som et [[brennpunkt]]. Avhengig av størrelsen ''v''<sub>0</sub>&thinsp; og retningen til hastigheten i utgangspunktet, vil prosjektilet falle ned på Jorden igjen, gå inn i en lukket bane omkring Jorden eller forlate den fullstendig. I dette siste tilfellet vil den til slutt bevege seg så langt bort at gravitasjonspotensialet blir null. Den har da kun en [[kinetisk energi]] som alltid er positiv. Bevarelse av den totale energien til prosjektilet med masse ''m'' må da oppfylle

: <math> {1\over 2}mv_0^2 + m\Phi_0 \ge 0 </math>

hvor &Phi;<sub>0</sub> = - ''gR'' igjen er gravitasjonspotensialet på utskytningsstedet. For at prosjektilet skal unnslippe fra Jorden må derfor

: <math> v_0 \ge  v_\infty = \sqrt{2gR} </math>

hvor ''v''<sub>&infin;</sub>&thinsp; er [[unnslipningshastighet]]en. Settes her inn ''R'' = 6371&thinsp;km, finner man ''v''<sub>&infin;</sub> = 11.2&thinsp;km/s.

Hvis hastigheten til prosjektilet er mindre enn denne kritiske hastigheten, vil det gå inn i en [[ellipse]]bane med negativ energi. Skriver man denne som {{nowrap|''E'' {{=}} - ''GMm''/2''a''}} hvor parameteren {{nowrap|''a'' > 0}} for en slik bunden bevegelse, vil hastigheten ''v'' til prosjektilet og dets avstand til Jorden ''r'' alltid være forbundet ved ligningen

: <math>v^2 = GM \left({2 \over r} - {1 \over a}\right) </math>

som igjen uttrykker bevarelse av dets totale energi. Parameteren ''a'' angir lengden til den store halvaksen til ellipsen. Denne sammenhengen kalles noen ganger for '''vis-viva-ligningen''' fra den gang [[vis-viva]] var navnet for kinetisk energi.<ref name = Smith> G.E. Smith, [http://www.giovannibachelet.it/FG1-14-15/settimana_04/VisViva-PhysicsToday2006.pdf  ''The Vis Viva Dispute: A Controversy at the Dawn of Dynamics''], Physics Today '''59''' (10),  31–36 (2006). </ref> Ved å la parameteren ''a'' være negativ, gjelder den også for ubundne baner som har form av [[hyperbel|hyperbler]]. Det kritiske tilfellet hvor energien er nøyaktig lik null slik at {{nowrap|''a'' {{=}} &infin;}}, tilsvarer en [[parabel]]bane der prosjektilet ender opp med null hastighet uendelig langt bort.