Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

===Parallellitet===

[[tangent (matematikk)|Tangenten]] til en rett linje i det euklidske rommet forandrer ikke retning langs kurven. For den mer generell kurven {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''(''&lambda;'')}} er tangenten i hvert punkt {{nowrap|'''u''' {{=}} ''d''&thinsp;''x''/''d&lambda;'' {{=}} ''u<sup>&mu;</sup>''&thinsp;'''e'''<sub>''&mu;''</sub>&thinsp;}} hvor komponentene ''u<sup>&mu;</sup> = dx<sup>&mu;</sup>/d&lambda;&thinsp;'' med basisvektorene '''e'''<sub>''&mu;''</sub>. Man kan nå definere den geodetiske linjen i et krumt rom ved å forlange på samme måte at denne vektoren forblir konstant langs kurven, det vil si at  ''d''&thinsp;'''u'''/''d&lambda;'' = 0. Uttrykt ved den [[Krumlinjete koordinater#Kovariant derivasjon|kovariante deriverte]] kan dette kravet omskrives til

: <math> {d\mathbf{u}\over d\lambda} = \boldsymbol{\nabla}_\mathbf{u}\mathbf{u} = \left({du^\mu\over d\lambda} + \Gamma^\mu_{\;\alpha\beta}u^\alpha u^\beta\right)\mathbf{e}_\mu = 0 </math>

hvor &Gamma;''<sup>&mu;</sup><sub>&alpha;&beta;</sub>''&thinsp; utgjør de [[tensor#Tensoranalyse|affine konneksjonskoeffisientene]] for denne parametriseringen. De kan skrives som [[Tensor#Levi-Civita-konneksjonen|Christoffel-symbol]] av det andre slaget som uttrykkes ved de deriverte av de metriske komponentene. Her brukes [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summerer over all like indekser. For at ligningen alltid skal være oppfylt, må innholdet i parentesen være null. Derfor må kurven tilfredsstille kravet

: <math> {d^2x^\mu\over d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\;\alpha\beta}{dx^\alpha\over d\lambda}{dx^\beta\over d\lambda} = 0. </math>

Denne [[differensialligning]]en av andre orden kalles for den '''geodetiske ligningen'''. Men den gjelder for hver koordinatene og gir derfor opphav til like mange ligninger som [[dimensjon]]en til rommet kurven befinner seg i.