Redigerer Euler-Mascheronis konstant (avsnitt)

==Divergenser==

Mange [[analytisk funksjon|analytiske funksjoner]] har [[singularitet]]er hvor de divergerer. Det mest vanlige er at disse er [[kompleks analyse|enkle poler]]. Det gjelder også for [[gammafunksjon]]en &Gamma;(''z'') som har slike poler for ''z'' = 0 og dermed også for alle negative heltall. Like i nærheten til en av disse er det Euler-Mascheronis konstant som bestemmer verdien av funksjonen. Det har sitt opphav i at {{nowrap|&Gamma;'(1) {{=}} - ''&gamma;''}}. Ved å utvikle funksjonen om punktet ''z'' = 1 i en [[Taylor-rekke]], har man da

: <math> \Gamma(1+x) = \Gamma(1) + x\Gamma'(1) + \cdots = 1 - \gamma x + \cdots </math>

når ''x'' blir veldig liten. Men nå er &Gamma;(''x'') = (1/''x'')&thinsp;&Gamma;(1 + ''x'') slik at når ''x'' &rarr; 0 divergerer gammafunksjonen i dette punktet som

: <math> \Gamma(x) = {1\over x} - \gamma + O(x) </math>

Ut fra dette resultatet kan man finne oppførselen av funksjonen ved de andre polene. For eksempel,

: <math>\begin{align} \Gamma( -1 + x) &= {\Gamma(x)\over - 1 +x} = - \big(1 + x + x^2 + \cdots\big) \Big({1\over x} - \gamma + \cdots \Big) \\ 
&=  -{1\over x} - 1 + \gamma + O(x) \end{align}</math>

Slik kan man fortsette og finner den singulære oppførselen ved den ''n''-te polen som

: <math> \Gamma( -n + x)  ={(-1)^n\over n!}\Big({1\over x} + H_n - \gamma  +  O(x) \Big)</math>

hvor ''H<sub>n</sub>'' = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/''n''&thinsp; er the ''n''-te [[harmonisk tall|harmoniske tallet]]. Kombinasjonen {{nowrap|''H<sub>n</sub>'' - ''&gamma;'' {{=}} ''&psi;''(''n'' + 1)}} når man benytter definisjonen av [[digammafunksjon]]en.

Euler-Mascheronis konstant opptrer på en lignende måten ved den enkle polen som [[Riemanns zetafunksjon]] ''&zeta;''(''z'') har i punktet ''z'' = 1. Der har den formen

: <math> \zeta(1 + x) = {1\over x} +  \gamma  + O(x) </math>

når ''x'' går mot null. Dette er den eneste singulariteten til denne funksjonen. Med bruk av [[Gammafunksjon|gammafunkjonen]] vet man også at:

<math>\lim_{n \to 0^-}\bigr(\frac{1}{n}-\Gamma(-n)\bigr).</math>

===Kvantefeltteori===

Moderne [[elementærpartikkel]]fysikk er beskrevet ved [[kvantefeltteori|relativistisk kvantefeltteori]] i et firedimensjonalt [[tidrom]]. Ved konkrete beregninger opptrer det nesten alltid divergente integral  som kan gjøres fysisk meningsfulle ved en  omstendelig prosess som kalles «renormalisering». 

På begynnelsen av 70-tallet viste [[Kenneth Wilson]] og [[Gerardus 't Hooft]] at dette kan gjøres mer systematisk ved å benytte en ny metode som nå kalles «dimensjonell regularisering». Man tenker seg da at tidsrommet ikke har nøyaktig {{nowrap|''D'' {{=}} 4}} dimensjoner, men i stedet {{nowrap|4 + ''&epsilon;''}} hvor ''&epsilon;'' er et lite tall som på slutten av beregningen må bli null. Med denne antagelsen vil nå alle integral være endelige og kan føres tilbake til integral over [[kule (geometri)#Kuler i høyere dimensjoner|kuleflater]] i {{nowrap|''D'' {{=}} 4 + ''&epsilon;''}} dimensjoner. Integralene kan uttrykkes ved gammafunksjoner hvor divergensene er isolerte til denne funksjonens poler for negative heltall. Det endelige, fysiske innhold av integrasjonene ligger i den forøvrige oppførselen til funksjonen i nærheten av disse. Dermed vil det fysiske eller observerbare resultatet av beregningen inneholde Euler-Mascheronis konstant.