Redigerer Entropi (avsnitt)

==Clausius og termodynamikk==

[[Termodynamikkens andre hovedsetning]] om hvordan entropien ''S&thinsp;'' for et system forandres i en prosess, ble formulert matematisk av [[Rudolf Clausius]]. Den kan skrives som [[ulikhet (matematikk)|ulikheten]]

: <math> \Delta S  \ge {\Delta Q/T} </math>

som bærer hans navn. Her er ''&Delta;Q&thinsp;'' en liten varmemengde om overføres til systemet fra omgivelsene med [[absolutt temperatur]] ''T''. Den gir en økning ''&Delta;S&thinsp;'' i entropien til systemet. Måleenheten for entropi i [[SI-enheter]] er derfor J/K.

I nesten alle sammenhenger snakker man som her om et ''system'' og dets ''omgivelser'' som er i termisk kontakt, det vil si de kan utveksle varme med hverandre. Til sammen definerer disse to kategoriene et ''univers''. Kun  når et system er termisk isolert fra omgivelsene, kan vi betrakte det alene for seg selv. Da vil per definisjon ''&Delta;Q'' = 0 og systemets entropi vil alltid øke eller forbli konstant, ''&Delta;S'' &ge; 0. Dette vil da også gjelde for vårt eget, fysiske univers.<ref name= Müller>R. Müller, ''Thermodynamik: Vom Tautropfen zum Solarkraftwerk'', Walter de Gruyther GmbH, Berlin (2014). ISBN 978-3-11-030198-4.</ref>

Beregning av entropi er mulig fra Clausius' ulikhet i grensen hvor den varmemengden ''&Delta;Q'' er så liten og blir så forsiktig tilført til systemet at det hele tiden er i likevekt og med samme temperatur. Man sier da at varmen er tilført ''reversibelt''. I denne grensen er

: <math>  \Delta S  = {\Delta Q_{rev}/T} </math>

For å gjennomføre beregningen behøver man i tillegg en [[tilstandsligning]] for systemet samt at [[termodynamikkens første hovedsetning]] må oppfylles.

===Smelting av is===

Et klassisk eksempel på økende entropi  i et lite ''univers'' er is som smelter i et glass vann. Her er systemet glasset med is og vann i termisk likevekt ved konstante temperatur  0&nbsp;°C (273 K). ''Omgivelsene'' antar vi er rommet omkring med temperatur 20&nbsp;°C (293 K). I dette universet vil litt varmeenergi ''&Delta;Q'' strømme fra de varme omgivelsene inn i glasset som forblir ved  0&nbsp;°C så lenge det er is igjen i det. Dette er smeltetemperaturen for is og ''&Delta;Q'' er gitt ved  [[smeltevarme]]n ''&Delta;H''&thinsp;<sub>is</sub> = 334 J/g. Dermed vil entropien til systemet øke med  ''&Delta;Q''&thinsp;/273, mens  omgivelsene taper entropien ''&Delta;Q''&thinsp;/293. Netto-økningen av entropien i dette lille universet er dermed

: <math> \Delta S   = \Delta Q \left({1\over 273} -  {1\over 293}\right)  > 0 </math>

Sålenge smeltingen foregår, forandres ikke temperaturen til systemet. Derimot vil temperaturen til omgivelsen avta bitte litt, men kan likevel helt neglisjeres da omgivelsene nesten alltid kan betraktes å være svært store.<ref name = Rock>P.A. Rock, ''Chemical Thermodynamics'', University Science Books, Oxford (1983). ISBN 0-19-855712-5.</ref>

Etter at smeltingen er over, øker temperaturen i systemet langsomt til vannet i glasset har fått samme temperatur som omgivelsene. Ser vi bort fra volumforandringer under oppvarmingen, vil tilført varme til glasset med vann være  ''&Delta;Q'' = ''C<sub>V</sub>&thinsp;&Delta;T'' hvor ''C<sub>V</sub>'' er dets [[spesifikk varmekapasitet|spesifikke varmekapasitet]]. Dette medfører en forandring i entropien til dette systemet med ''&Delta;S'' = ''C<sub>V</sub>&thinsp;&Delta;T/T'' som kan integreres opp til å gi

: <math> \Delta S = C_V \int_{T_i}^{T_f}\!{dT\over T} = C_V \ln {T\over T_0}  </math>

hvor ''T''<sub>0</sub> = 273 K er begynnelsestemperaturen. Entropien til omgivelsene vil nå også avta, men igjen mindre enn økningen av entropien til det oppvarmete glasset med vann.<ref name = Castellan>G.W. Castellan, ''Physical Chemistry'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1971). ISBN 0-20-110386-9.</ref>

===Ideell gass===
[[File:Entropie.svg|thumb|250px|Partiklene i venstre halvdel slippes løs og vil deretter kunne bevege seg i hele beholderen.]]

En [[ideell gass]] med temperatur ''T'' og bestående av ''n'' [[mol]] partikler i et volum ''V'' har et trykk ''P'' gitt ved tilstandsligningen {{nowrap|''PV {{=}} nRT''}} der ''R'' er [[gasskonstant]]en. For en liten, reversibel volumforandring i gassen vil [[termodynamikkens første hovedsetning|1. hovedsetning]] på differensiell form {{nowrap|''TdS {{=}} dU + PdV''}} forbinde de resulterende forandringene i indre energi ''dU'' og entropi ''dS''. Nå er {{nowrap|''dU {{=}} C<sub>V</sub>&thinsp;dT''}} hvor varmekapasiteten for ''n'' mol ideell gass er {{nowrap|''C<sub>V</sub>'' {{=}} (3/2)''nR''.}} Dermed er {{nowrap|''dS'' {{=}} ''C<sub>V</sub>''&thinsp;(''dT''/''T'') + ''R&thinsp;(dV''/''V'')}} slik at direkte integrasjon gir

: <math> S(V,T) =  {3\over 2}nR\ln {T\over T_0}   + nR\ln {V\over V_0}  </math>

hvor ''T''<sub>0</sub> og  ''V''<sub>0</sub> er vilkårlige referanseverdier. De vil falle bort når vi regner ut entropidifferanser som  er det som kan måles.<ref name = Rock/>

Dette resultatet for entropien for en ideell gass avhenger kun av tilstanden til gassen gitt ved temperaturen  ''T'' og volumet ''V'' når den er i termisk likevekt. Hvis gassen befinner seg opprinnelig i venstre halvdel av en beholder som vist i figuren og skilleveggen plutselig fjernes, vil den spre seg ''irreversibelt'' over hele det nye volumet som er dobbelt så stort. Når den er kommet i likevekt igjen, er dermed dens entropi økt med {{nowrap|&Delta;''S'' {{=}} ''R'' ln 2}} da temperaturen i gassen er uforandret. Dette skyldes at gassen er antatt ideell og det er derfor ingen vekselvirkninger mellom gasspartiklene. Omgivelsene forblir også dermed ved samme temperatur og entropiforandringen for hele universet er {{nowrap|''&Delta;S<sub>tot</sub> {{=}} R'' ln 2.}}

Det er også mulig å komme frem til samme slutt-tilstand for gassen ved en ''reversibel'' prosess. Det kan gjøres ved at den midtre skilleveggen i gassbeholderen kan skli friksjonsløst til venstre, men blir holdt tilbake ved at den påtrykkes en motkraft som balanserer gasstrykket ''P&thinsp;'' hele tiden. Dermed sklir den langsomt slik at gassen hele tiden er i likevekt. Ved hver liten volumforandring ''&Delta;V'', utfører gassen dermed et arbeid {{nowrap|''&Delta;W {{=}} P&Delta;V''}} på veggen. Denne energien kommer fra varmen {{nowrap|''&Delta;Q {{=}} &Delta;W''}} som strømmer fra omgivelsene og inn i gassen. Dermed avtar entropien til omgivelsene like mye som entropien til gassen øker. På den måten blir derfor den totale entropiforandring nå {{nowrap|''&Delta;S<sub>tot</sub> {{=}} 0''.}}

===Adiabatisk ekspansjon===

Ved denne reversible utvidelsen kunne varme strømme inn i gassen fra omgivelsene. Hvis derimot veggene i gassbeholderen er isolerte slik at de ikke slipper varme gjennom, må den indre energien ''U'' til gassen avta for å kompensere arbeidet den utfører mot skilleveggen som langsomt presses mot høyre i beholdere. Da blir den differensielle entropiforandringen til gassen {{nowrap|''dS'' {{=}} 0 {{=}} (3/2)''nR''&thinsp;(''dT''/''T'') + ''nR''&thinsp;(''dV''/''V)''.}} Ved direkte integrasjon finnes da
: <math> T V^{2/3} = konst </math>
Dette kalles en reversibel, [[adiabatisk prosess|adiabatisk ekspansjon]]. Etterhvert som volumet øker, avtar gassens temperatur fordi den må gjøre et arbeid mot omgivelsene.  Men ingen varmeoverføring har funnet sted og den totale entropiforandring  ''&Delta;S<sub>tot</sub>'' er igjen  lik null. Slike adiabatiske prosesser er av stor betydning i [[meteorologi]]en ved dannelse av skyer og forandringer ved været.

Men der er et problem med det termodynamiske resultatet vi har funnet for entropien for en ideell gass. Entropien skal være en ekstensiv størrelse. Problemet oppstår ved igjen å betrakte situasjonen med  gassen til venstre for den midtre skilleveggen i beholderen. Så fylles høyre halvdel med like mye ny gass og skilleveggen tas vekk. Da har vi den dobbelte mengde med gass i beholderen og entropien skulle også blitt dobbelt så stor. Men resultatet vi fant, sier derimot at entropien  har økt med {{nowrap|''&Delta;S'' {{=}} ''R'' ln 2}} da temperaturen hele tiden er den samme og volumet er blitt dobbelt så stort. Dette problemet går under navnet ''Gibbs paradoks'' og kan først løses ved bruk av [[Boltzmann]]s definisjon av entropi.<ref name = LHL> E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, ''Generell Fysikk, Bind 2'', Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 82-15-00006-1.</ref>