Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Utledning===

Formen til Dirac-ligningen er bestemt av at den skal bekskrive en relativistisk partikkel. Har den en masse ''m'', må dens energi ''E&thinsp;'' og impuls '''p''' være forbundet med hverandre ved relasjonen

: <math> E^2 =  \mathbf{p}^2c^2 + m^2c^4 </math>

Den ønskede bølgeligningen tilsvarer nå å kunne uttrykke denne energien på den lineære formen

: <math> E = \boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{p}c + \beta mc^2 </math>

hvor <math> \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z) </math> og <math> \beta \,</math> i utgangspunktet er ukjente størrelser. De kan ikke være reelle eller komplekse tall, men muligens [[matrise]]r. For eksempel har [[Pauli-matrise]]ne <math> \boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) </math> 
egenskapen at

: <math> (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p})^2 = p^2 </math>

Ved å ta kvadratroten av denne sammenhengen, har man dermed at <math> \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p} = p </math>. Da en partikkel med masse ''m'' = 0 har energi ''E = pc'', kan dette benyttes til å gi en relativistisk bølgeligning som er lineær både i &part;/&part;''t&thinsp;'' og '''&nabla;'''. Det er [[Weyl-ligning]]en for et masseløst [[fermion]] med spinn-1/2.<ref name = PS> M.E. Peskin and D.V. Schroeder, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Reading Massachusetts (1995). ISBN 0-201-50397-2.</ref>

For en massiv partikkel finner man på tilsvarende vis ved å betrakte <math> \boldsymbol{\alpha} </math> og <math> \beta \,</math> som ikke-kommuterende matriser, at

: <math>\begin{align} E^2 &= (\alpha_ip_i c +  \beta mc^2)(\alpha_jp_j c +  \beta mc^2)\\  &= \alpha_i\alpha_j  p_i p_jc^2 +  (\alpha_i\beta + \beta \alpha_i) p_imc^3 + \beta^2m^2c^4 \end{align} </math>

når man gjør bruk av [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over par med like indekser. Ved å benytte at <math> \alpha_i\alpha_j  p_i p_j = \alpha_j\alpha_i  p_i p_j </math> da ''p<sub>i</sub>'' og  ''p<sub>j</sub>''  kommuterer med hverandre, gir dette betingelsene de fire Dirac-matrisene må oppfylle. De skrives vanligvis på formen

: <math> \boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & \boldsymbol{\sigma}  \\ \boldsymbol{\sigma}  & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} </math>

hvor ''I&thinsp;'' i ''&beta;''-matrisen står for en 2&times;2 [[Matrise#Matrisetyper|enhetsmatrise]]. Slike enhetsmatriser blir vanligvis ganske enkelt skrevet som 1 så lenge det ikke kan oppstå misforståelser.<ref name = BD>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill Book Company, New York (1964).</ref>