Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

==Magnetisk energi==

Selv om Lorentz-kraften ikke kan utføre arbeid, inneholder likevel magnetfeltet [[energi]]. Dette kommer tydelig frem i kreftene som virker mellom magneter og Maxwell-spenningene som feltet gir opphav til. Selv om disse kreftene også opptrer under statiske forhold, har denne energien sitt opphav i at et foranderlig magnetfelt lager et elektrisk felt som kan skape et arbeid på vanlig måte.

Det kommer tydelig frem ved å se på en lukket krets som det blir ført en strøm ''I&thinsp;'' igjennom. Da vil det skapes et magnetfelt med en [[magnetisk fluks|fluks]] &Phi; som går gjennom kretsen. Når strømmen økes litt i et kort tidsrom ''dt'', vil fluksen øke med ''d''&thinsp;&Phi;. Men for å få dette til, må den påtrykte [[elektrisk spenning|spenningen]] fra et eksternt batteri eller generator overvinne den [[induktans|induserte spenningen]] {{nowrap|''V'' {{=}} ''d''&thinsp;&Phi;/''dt''}}. Det utførte arbeidet til denne eksterne spenningskilden er derfor {{nowrap|''dW<sub>e</sub>'' {{=}} ''VIdt''&thinsp;}} eller

: <math> dW_e = Id\Phi </math>

Dette arbeidet går over til å bli lagret som energi  ''U<sub>B</sub>''&thinsp; i det magnetiske feltet som har oppstått. Fluksen kan uttrykkes ved strømmen ''I&thinsp;'' gjennom kretsen som {{nowrap|&Phi; {{=}} ''LI''}} hvor ''L'' er dens [[induktans#Selvinduktans|induktans]]. Feltenergien som skapes ved dette arbeidet som utføres på kretsen under oppladning fra null strøm, finnes da ved integrasjon å være

: <math> U_B = L\int_0^I\!dI I = {1\over 2}LI^2 = {1\over 2}I\Phi </math>

Ved sammenligning ser man at dette er i overensstemmelse med energien til en [[induktans#Energi i en spole|stømførende spole]].<ref name = RM/>  Resultatet tilsvarer den  [[elektrisk felt#Elektrisk feltenergi|elektriske feltenergien]]   ''U<sub>E</sub>'' = (1/2)''QV&thinsp;'' for en [[kondensator (elektrisk)|kondensator]] som er ladet opp til et potensial ''V'' slik at den har en ladning ''Q = CV'' hvor ''C'' er dens [[kapasitans]]. 

Mer generelt kan man betrakte et system som består av mange kretser. Fører de strømmene ''I''<sub>1</sub>,   ''I''<sub>2</sub> , ... samtidig som de omslutter fluksene &Phi;<sub>1</sub>,  &Phi;<sub>2</sub>, ..., vil en differensiell økning av disse medføre det eksterne arbeidet

: <math>  dW_e = I_1d\Phi_1  + I_2d\Phi_2 + \ldots </math>

Dette blir lagret som magnetisk energi forutsatt at systemet ikke selv utfører noe arbeid eller blir tilført annen energi. Den resulterende energi til systemet blir da

: <math> U_B = {1\over 2}I_1\Phi_1 + {1\over 2}I_2\Phi_2 + \ldots  </math>

i det generelle tilfellet når systemet består av flere lukkete strømkretser.

===Feltenergitetthet===

Ved bruk av det magnetiske vektorpotensialet '''A''' og [[Stokes' teorem]] kan fluksen gjennom en lukket krets ''C'' som spenner ut flaten '''S''', skrives som 

: <math> \Phi = \int\!d\mathbf{S}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \oint_C\!d\mathbf{s}\cdot\mathbf{A} </math>

Når denne fluksen skyldes strømmen ''I&thinsp;'' gjennom kretsen, kan derfor den magnetiske feltenergien alternativt skrives som 

: <math> U_B = {1\over 2}\oint_C\!Id\mathbf{s}\cdot\mathbf{A}  </math>

På denne formen kan man nå finne den samme energien for en mer generell strømfordeling gitt ved strømtettheten '''J''' = '''J'''('''r'''). Denne kan betraktes som bestående av tynne strømfilament som tilsvarer utvidelsen ''Id'''''s''' &rarr; '''J'''''d''<sup>&thinsp;3</sup>''x''. Slik kommer man frem til det viktige resultatet

: <math> U_B = {1\over 2}\int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A} </math>

Ved å bruk [[Ampères sirkulasjonslov]] '''J''' = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' kan dette uttrykkes ved det magnetiske feltet alene. Dette oppnås ved å bruke den [[vektoranalyse|vektoranalytiske]] identiteten 

: <math> \mathbf{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{H}) = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{H}\times\mathbf{A}) + \mathbf{H}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) </math>

Fra [[divergensteoremet]] følger at det første leddet her gir null når overflaten til integrasjonsvolumet legges uendelig langt i det fjerne hvor feltet fra strømfordelingen forsvinner. Da det siste leddet er lik med '''B'''&sdot;'''H''', betyr det at denne energien kan uttrykkes ved en magnetisk feltenergitetthet

: <math> u_B = {1\over 2} \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} </math>

I et lineært medium er '''B''' = ''&mu;''&thinsp;'''H''' slik at ''u<sub>B</sub>'' = (1/2)''&mu;H''<sup>&thinsp;2</sup> = ''B''<sup>&thinsp;2</sup>/2''&mu;''. Dette er i overensstemmelse med energitettheten i en [[induktans#Energi i en spole|ideell spole]] hvor magnetfeltet befinner seg inni spolen med en konstant verdi.

===Vekselvirkningsenergi===

Hvis en eller flere av de elektriske strømkretsene som utgjør systemet, kan bevege seg under oppladningen, vil systemet kunne utføre et mekanisk arbeid ''W<sub>m</sub>''. Den tilførte, eksterne energien går da med til dette arbeidet pluss en økning av den magnetiske energien. [[Energiprinsippet|Energibalansen]] tilsier derfor at

: <math> dW_e  =  dW_m  +  dU_B </math>

Når en eller flere strømsløyfer flytter seg under denne forandringen, vil det generelt [[elektromagnetisk induksjon|induseres]] strømmer i kretsene.  Ved å regulere den eksterne strømtilførselen slik at disse strømmene forblir konstant, er forandringen i den magnetiske enrgien

: <math> dU_B = {1\over 2}I_1d\Phi_1 + {1\over 2}I_2d\Phi_2 + \ldots  </math>

som er like med (1/2)''dW<sub>e</sub>''. Fra energibalansen følger det derfor at  ''dW<sub>m</sub>'' = ''dU<sub>B</sub>&thinsp;'' i dette tilfellet.<ref name = RM/> 

Hvis en del av dette systemet flytter seg en liten distance ''d''&thinsp;'''x''' under denne forandringen, kan det mekaniske arbeidet som systemet utfører, skrives som 
''dW<sub>m</sub>'' = '''F'''&sdot;''d''&thinsp;'''x''' hvor den magnetiske kraften '''F''' er skapt av systemet. Dette arbeidet tilsvarer en reduksjon {{nowrap|''dU<sub>m</sub>'' {{=}} - ''dW<sub>m</sub>''&thinsp;}} i den mekaniske '''vekselvirkningsenergien''' mellom deler av strømsystemet. Ved direkte integrasjon av sammenhengen {{nowrap|''dU<sub>m</sub>'' {{=}} - ''dU<sub>B</sub>&thinsp;''}} har man derfor for denne

: <math> U_m = - {1\over 2}\int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A} </math>

Denne [[potensiell energi|potensielle energien]] for konstante strømmer er derfor ganske enkelt den negative av totalenergien til hele systemet.<ref name = Zangwill/> De magnetiske kreftene den gir opphav til, kan nå finnes på vanlig måte fra '''F''' = - '''&nabla;'''&thinsp;''U<sub>m</sub>''.

Hvis systemet består av to strømtettheter '''J'''('''r''') og '''J''''('''r'''), vil begge disse to bidra til vektorpotensialet. Kalles disse to bidragene på samme måte '''A''' og '''A'''', kan den mekaniske energien skrives på formen

: <math> U_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = U_m(\mathbf{J}) + U_m(\mathbf{J'}) +  V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) </math>

hvor de to første termene er mekaniske selvenergier. Selve vekselvirkningsenergien mellom de to strømmene er inneholdt i den siste termen

: <math> V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = - \int\!d^3x\,\mathbf{J}\cdot\mathbf{A'} = - \int\!d^3x\,\mathbf{J'}\cdot\mathbf{A} </math>

Dette er det generelle resultatet for vekselvirkningsenergien til en strøm i feltet fra en annen strøm. Ved å sette inn formelen for vektorpotensialet fra den andre  strømtettheten, kan energien i dette tilfellet skrives som

: <math>  V_m(\mathbf{J}, \mathbf{J'}) = - \frac{\mu_0}{4\pi}\int\! d^3x \int\! d^3x' {\mathbf{J}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{J'}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Fra denne potensielle energien følger nå Ampère-kraften ved [[derivasjon]], noe som tilsvarer at man flytter den ene kretsen litt i forhold til den andre uten at noen av dem forandrer sin form.<ref name = Zangwill/>

===Magnetisk dipol===

En tilstrekkelig liten strømsløyfe ''C'' utgjør en [[magnetisk dipol]]. Befinner den seg i et ytre magnetfelt '''B''' = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''', vil den ha vekselvirkningsenergien

: <math> V_m = - I\oint_C\!d\mathbf{s}\cdot\mathbf{A} = - I\Phi </math>

da strømmen ''I&thinsp;'' i den er konstant. Nå strømsløyfen er så liten at feltet som går gjennom den også er konstant, kan man skrive fluksen som {{nowrap|&Phi; {{=}} '''S'''&sdot;'''B'''}} hvor '''S''' er sløyfens areal med retning [[vinkelrett]] på sløyfen. Men nå er {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} dens [[magnetisk moment|magnetiske moment]] slik at den har en potensiell energi 

: <math> V_m = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

i overensstemmelse med hva som finnes ved å se på de magnetiske kreftene som virker på den. Hvis ''&theta;'' er vinkelen mellom dipolen og '''B'''-feltet, er denne energien {{nowrap|''V<sub>m</sub>'' {{=}} - ''mB''&thinsp;cos''&theta;''}}. Den konjugerte kraften som virker på dipolen, er dermed [[dreiemoment]]et

: <math> T = - {\partial V_m\over\partial\theta} = - mB\sin\theta </math>

som på vektorform er '''T''' = '''m'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''. Det prøver å vri dipolen slik at den retter seg inn etter det ytre feltet slik at vekselvirkningsenergien blir minst mulig.

Uttrykket for den potensielle energien er også gyldig når dipolen befinner seg i et magnetfelt {{nowrap|'''B''' {{=}} '''B'''('''r''')&thinsp;}} som varierer langsomt i rommet.  I tillegg til dreiemomentet vil derfor også en kraft {{nowrap|'''F''' {{=}} - '''&nabla;'''''V<sub>m</sub>''&thinsp;}} virke på den. Den kan skrives som

: <math> \mathbf{F} =  (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} </math>

når man benytter at for det ytre feltet gjelder {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B''' {{=}} 0}}. Hvis man for eksempel beskriver en [[magnet|stavmagnet]] som en magnetisk dipol, vil denne formelen forklare hvordan en slik magnet beveger seg i feltet fra en annen magnet.<ref name = Zangwill/>