Redigerer Euklids Elementer (avsnitt)

== ''Elementer'' og utvikling av moderne matematikk  ==

Geometri basert på postulatene i ''Elementer'' er i dag kalt [[euklidsk geometri]]. Innholdet i ''Elementer'' er i planet begrenset til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom ''elementær geometri'' (punkt, linjer, sirkler) og ''høyere geometri'' ([[kjeglesnitt]], [[transendental kurve|transendentale kurver]]).<ref name=AHB135>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.135</ref> [[Konstruksjon (geometri)|Geometrisk konstruksjon]] er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal.  Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da ''euklidske hjelpemidler''. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert ''før'' Euklid virket.  Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.<ref name=AG13>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=13-14| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref><ref name=TH288>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.288</ref> Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter en andre typer kurver.

Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende.  Det femte postulatet, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser.  
Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene.  Både [[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios]] og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. Under dette arbeidet ble det oppdaget mange alternative formuleringer av det femte postulatet.<ref name=AHB71>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.71</ref>
En ofte brukt formulering ble først gitt av Proklos og kalles i dag [[Playfairs aksiom]], etter den skotske matematikeren [[John Playfair]].

''Elementer'' fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen.  Men begrensningene som er innebygget i verket var kanskje 
også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger.  Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av [[analytisk geometri]], for eksempel ''Porismata'' og ''Flatepunkter''.<ref name=AG22>{{Kilde bok| forfatter= Carl B.Boyer| utgivelsesår=2004| tittel=History of analytical geometry| utgivelsessted= New York| forlag=Dover Publications| side=22| isbn= 0-486-43832-5 }}</ref> Analytisk geometri er basert på bruk av koordinater, mens koordinatfri geometri - slik som en finner det i ''Elementer'' - omtales som [[syntetisk geometri]] eller ''ren geometri''.
Da [[infinitesimalregning]] ble introdusert på slutten av 1600-tallet, hadde mange matematikere motforestillinger, blant annet fordi en mente at teorien stod i strid med innholdet i ''Elementer''.<ref name=CB475>[[#CB|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.475</ref>.

Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometri, ikke er tilstrekkelig rigorøst, verken i definisjonene, postulatene eller aksiomene.  
For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av grunnlaget for euklidsk geometri, blant annet av [[David Hilbert]] i 1899.<ref name=AHB167>[[#AHB|A. Holme: ''Geometry. Our cultural heritage.'']] s.167f</ref>

Geometri var lenge synonymt med euklidsk geometri.  På 1800-tallet ble det innsett at det femte postulatet ikke er en absolutt sannhet.  Det er mulig å definere geometrier både ved å utelate parallellpostulatet og
ved å erstatte det med alternativ.  Geometri basert kun på Hilberts aksiomer, uten parallellpostulatet, kalles [[nøytral geometri]] eller absolutt geometri. Ved å ''erstatte'' parallellpostulatet med alternativ, kan en definere [[ikke-euklidsk geometri|ikke-euklidske geometrier]].<ref name=AHB167/>