Redigerer Magnetfelt (avsnitt)

==Maxwell-spenninger==

For den magnetiske totalkraften på et system av elektriske strømmer vil magnetfeltet '''B''' avhenge av disse strømmene via [[Maxwells ligninger]] og må bestemmes i hele volumet under betraktning. Det gjør en slik beregning i praksis meget vanskelig. Men de samme ligningene kan benyttes til å finne denne kraften kun fra kjennskap til magnetfeltet på overflaten eller utenfor systemet. Og det kan ofte være en stor forenkling som vist av Maxwell selv.<ref name = Whittaker/>

Når strømfordelingen '''J''', er stasjonær er den koblet til magnetfeltet via [[Ampères sirkulasjonslov|Ampères ligning]]  {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}} '''J'''}}. Den magnetiske volumkraften kan derfor skrives som

: <math> \mathbf{f} = (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{H}) \times \mathbf{B} </math> 

Skriver man nå at '''B''' = ''&mu;''&thinsp;'''H''' hvor permeabilteten ''&mu;'' antas å være konstant og samtidig benytter identiteten 

: <math> \mathbf{B} \times(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B})  +  (\mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} = {1\over 2}\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}) </math> 

fra [[vektoranalyse]]n, forenkles volumkraften til 

: <math> \mathbf{f} = (\mathbf{H} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{B} - {1\over 2}\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) </math> 

Dette resultatet kan skrives som [[gradient]]en av [[Maxwells spenningstensor]] 

: <math> \sigma_{ij} = B_i H_j - {1\over 2}\delta_{ij}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H} </math> 

når man benytter at {{nowrap|'''&nabla;&thinsp;&sdot;&thinsp;B''' {{=}} 0. }} Det betyr at '''f''' = '''&nabla;&sdot;&sigma;''' eller på komponentform som {{nowrap|''f<sub>i</sub>'' {{=}} ''&part;<sub>j</sub>&sigma;<sub>ij</sub>''}} hvor spenningstensoren er symmetrisk ved ombytte av sine to indekser.

Den magnetiske totalkraften finnes ved å integrere volumkraften over hele systemet.  Ved bruk av det generaliserte [[divergensteoremet]] kan resultatet skrives som

: <math> \mathbf{F} = \int\!dV \mathbf{J} \times \mathbf{B} = \int\!dV  \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma} = \int_{\partial V} d\mathbf{S}\cdot\boldsymbol{\sigma}  </math>

hvor ''d''&thinsp;'''S''' er et differensielt areal på overflaten ''S'' = &part;''V'' som dekker hele volumet til systemet.  Det er kun her at feltene nå må være kjent for finne kraften. Denne overflaten kan velges fritt så lenge den omslutter hele systemet under betraktning. Men noen valg kan gi enklere beregning enn andre.<ref name 
= Zangwill/>
 
Maxwell-tensoren opptrer også under ikke-stasjonære forhold og har da samme form som her. Dette er innholdet av [[Elektromagnetiske felt#Poyntings teorem|Poyntings teorem]]. Da må man inkludere kreftene som det elektriske feltet lager samt den elektromagnetiske energien som stråles ut fra ladningene i bevegelse. 

===Eksempel===
Betrakter man et lite flateelement ''&Delta;S<sub>j</sub>'' = ''&Delta;S''&thinsp;''n<sub>j</sub>'' med enhetsvektoren '''n''' stående normalt på seg, er den magnetiske kraften på elementet i retning ''i'' gitt ved {{nowrap|''&Delta;F<sub>i</sub>'' {{=}} ''&sigma;<sub>ij</sub>&thinsp;&Delta;S<sub>j</sub>''}}  = ''&sigma;<sub>ij</sub>&thinsp;n<sub>j</sub>&thinsp;&Delta;S'' når man bruker [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over to like indekser. Komponentene til spenningstensoren angir derfor en kraft per flateenhet som virker ut fra denne og derfor tilsvarer et negativt [[trykk]].

Som et enkelt eksempel kan man betrakte et magnetisk felt '''B''' i vakum som er rettet langs-''z''-aksen. Tensoren er da diagonal med komponentene

: <math> (\sigma_{ij}) = {B^2\over 2\mu_0} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0  \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>

Dette resultatet kan anvendes på forskjellige situasjoner. For eksempel, hvis man har en stavmagnet  langs ''z''-aksen som man deler i to, adskilt med en tynn luftspalte, vil de to delene hver være en ny stavmagnet. Komponenten {{nowrap|''&sigma;<sub>zz</sub>''&thinsp;}} gir da kraften per flateenhet som virker over luftspalten og prøver å trekke de to sammen igjen.  Dette er derfor en «tensil» eller tiltrekkende kraft som tilsvarer et negativt trykk  - ''P'' = {{nowrap|''&sigma;<sub>zz</sub>'' {{=}} ''B''<sup>&thinsp;2</sup>/2''&mu;''<sub>0</sub>}}. Magnetfeltet ''B'' er bestemt ved magnetisering til den opprinnelige magneten. Dette er i overenstemnmelse med hva man kan finne ved å betrakte de [[Magnet#Maxwell-spenning|magnetiske ladningene på snittflaten]]. 

De to andre komponentene kan benyttes i en [[spole (induktans)|spole]] med akse langs ''z''-aksen. Da er det inni den tilnærmet et konstant magnetfelt  ''B'' i samme retning. Dette gir nå en frastøtende kraft {{nowrap|''&sigma;<sub>xx</sub>'' {{=}} ''&sigma;<sub>yy</sub>''}} =  {{nowrap|- ''B''<sup>&thinsp;2</sup>/2''&mu;''<sub>0</sub>}} som virker på vindingene til spolen slik at de presses utover. Denne effekten kan ha stor, praktisk betydning i spoler som skaper spesielt sterke magnetfelt.

Med sin spenningstensor ga [[Maxwell]] en matematisk forklaring på hva [[Michael Faraday|Faraday]] hadde skapt av forståelse ved å innføre magnetiske [[feltlinje]]r. Ved sine eksperiment hadde han vist at disse prøver å trekke seg sammen i lengderetningen samtidig som de er frastøtende på tvers av seg. Disse egenskapene var viktige for å gi begrepet magnetisk [[felt (fysikk)|felt]] et fysisk innhold.<ref name = Darrigol/>