Redigerer Pytagoras’ læresetning (avsnitt)

== Generaliseringer ==

=== Cosinussetningen ===
[[Fil:Triangle.Acute.png|thumb|Spissvinklet trekant]]
[[Fil:Triangolo-Ottuso.png|thumb|Stumpvinklet trekant]]
Pytagoras’ teorem er et spesialtilfelle av et mer generelt teorem om forholdet mellom sidelengder i en vilkårlig trekant, kjent som  [[cosinussetningen]] eller ''den utvidede pytagoreiske læresetning''.<ref name=EJW85>{{kilde bok | tittel=Plane trigonometry and applications |forfatter=Ernest Julius Wilczynski, Herbert Ellsworth Slaught |url=https://archive.org/details/planetrigonomet00wilcgoog |år=1914 |forlag=Allyn and Bacon |side=85ff}}</ref><ref>{{Kilde bok |utgivelsesår = 1986 |tittel = Matematikk for den videregående skole |isbn = 82-05-16032-5 |utgivelsessted = Oslo |forlag = Gyldendal |url = http://urn.nb.no/URN:NBN:no-nb_digibok_2014073005007 | side =25 }}</ref>
For en vilkårlig trekant med sidelengder <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> er

:<math>a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}=c^2 </math>.

Her er <math>\gamma</math> vinkelen mellom sidene med lengde <math>a</math> og <math>b</math>.  For <math>\gamma</math> lik 90 grader er <math>\cos \gamma = 0</math>, og ligningen reduserer seg til den vanlige 
pytagoreiske ligningen.

Cosinussetningen gir en enkel metode for å bestemme om en trekant er rett, spissvinklet eller stumpvinklet. Siden cosinus-funksjonen er positiv for en spiss vinkel, men negativ for en stump vinkel, så gjelder følgende: 

* <math>a^2 + b^2 = c^2</math> hvis og bare hvis trekanten er rettvinklet.
* <math>a^2 + b^2 < c^2</math> hvis og bare hvis trekanten er spissvinklet.
* <math>a^2 + b^2 > c^2</math> hvis og bare hvis trekanten er stumpvinklet.

Her er forutsatt at <math>c</math> er den lengste siden.  En vanlig notasjon er å la vinklene i trekanten være <math>\alpha, \beta, \gamma</math>, slik at <math>\alpha</math> er motstående til sidelengden <math>a</math> og <math>\beta</math> motstående til sidelengden <math>b</math>.  Forholdene over kan da også uttrykkes slik:

* I en spissvinklet trekant er <math>\alpha + \beta > \gamma</math> og <math>a^2 + b^2 < c^2</math>.
* I en stumpvinklet trekant er <math>\alpha + \beta < \gamma</math> og <math>a^2 + b^2 > c^2</math>.

[[Edsger Dijkstra]] har samlet disse resultatene ved hjelp av [[Signum (matematikk)|fortegnsfunkjonen]]:<ref>{{kilde www||url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF |tittel=On the theorem of Phytagoras |utgiver=Edsger Dijkstra, University of Texas | besøksdato=2021-03-13}}</ref>

:<math>\sgn(\alpha + \beta - \gamma) = \sgn(a^2 + b^2 - c^2)</math>

=== Parallellogramloven ===
[[Image:Color parallelogram.svg|right|thumb|Sider i et parallellogram vist i blått og diagonalene i rødt]]
[[Parallellogramloven]] er en generalisering av Pytagoras’ sats til et vilkårlig parallellogram, tilskrevet [[Apollonios fra Perge]].<ref name=AH309>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.309 </ref>

: <math>2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2\ .</math>

For et rektangel er de to diagonalene like lange:  <math>AC = BD</math>, og parallellogramloven reduserer seg til Pytagoras’ læresetning.

=== Formlike figurer ===
Pytagoras’ læresetning kan tolkes som en relasjon mellom arealet til kvadrater på sidekantene.  Ved å multiplisere alle tre leddene i Pytagoras’ ligning med <math>\pi /8</math>, ser en umiddelbart at samme
relasjon også gjelder for arealene til halvsirkler med diameter langs sidekantene.  Dette resultatet er referert uten bevis av [[Hippokrates fra Khíos]], som levde i det femte århundre før Kristus.<ref name=TH397>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.397 </ref>
Euklid viste i bok VI av ''Elementer'' et bevis for a resultatet gjelder for vilkårlige formlike [[konveks polygon|konvekse polygon]].<ref name=TH397/>  I ettertid er det vist at resultatet er gyldig for vilkårlige formlike 
figurer, også figurer der sider er definerte ved kurver:{{tr}} 

:''«Hvis en reiser formlike figurer på sidene av et rett trekant, så er summen av arealene på de to minste sidene lik arealet av figuren på den største siden.»''

De tre sidelengdene i den rette trekanten er lik sidelengder i de tilstøtende figurene, slik at disse må være formlike i forholdet <math>a:b:c</math>.  Den grunnleggende idéen bak generaliseringen er at i formlike 
figurer er forholdet mellom arealet og kvadratet av en vilkårlig karakteristisk lengde det samme:

:<math>
\begin{alignat}{2}
&\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2} \\[7pt]
&\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C = C
\end{alignat}
</math>

{|
| [[Fil:Pythagoras applied to similar triangles.svg|thumb|Generalisering med formlike trekanter. For arealene gjelder ''A'' + ''B'' = ''C'']]
| [[Fil:Pythagoras by pentagons.svg|thumb|Generalisering med regulære pentagoner]]
|} 

=== Pappos arealteorem ===
[[Pappos fra Alexandria|Pappos]]  (3-4. århundre) gir et ''arealteorem'' han selv kaller en utviding av Euklid I.47.<ref name=TH369>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. II) s.369-371 </ref>
Dersom en på to sider i en vilkårlig trekant tegner to vilkårlige parallellogram, så kan en konstruere et parallellogram på den tredje siden, slik at arealet av dette er lik summen
av arealene til de to første.  

{|
| [[Fil:Pappus area theorem proof2.svg|thumb|Pappos' arealteorem: Summen av de to mørkegrå arealene er lik det lysegrå arealet]]
|} 

===Romgeometri ===
[[Fil:Pythagoras 3D.svg|thumb|Euklidsk avstand i rommet]]

En lengde i det tredimensjonale rommet kan defineres ved gjentatt bruk av Pytagoras’ setning.  I figuren til høyre kan en finne lengden av linjestykket <math>AD</math> ved å bruke den rettvinklede trekanten <math>ABD</math>:

:<math> AD^2 = AB^2 + BD^2 \ .</math>

Kateten <math>BD</math> i denne er gitt ved å bruke Pytagoras’ sats på trekanten <math>BCD</math>:

:<math> BD^2 = BC^2 + CD^2 \ .</math>

Kombinasjon av disse to ligningene gir

:<math> AD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 \ .</math>

Resultatet er det tredimensjonale uttrykket for lengden av en vektor <math>\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)</math>, basert på komponentene.  Vektoren svarer til diagonalen <math>AD</math>

:<math>\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{i=1}^3 v_i^2.</math>

=== de Guas teorem ===
I tre romdimensjoner er [[de Guas teorem]] en generalisering av Pytagoras’ læresetning til et [[tetraeder]]:<ref>{{kilde www| url=https://mathworld.wolfram.com/deGuasTheorem.html |tittel=De Gua's theorem |utgiver=Wolfram MathWorld |besøksdato=2021-03-14}}</ref>

:''«Hvis et tetraeder har et rettvinklet hjørne, så er kvadratet av arealet på den motstående side til den rette vinkel lik summen av kvadratene av arealene på de tre andre sidene.»''

Et rettvinklet hjørne er som hjørnet i en [[kube]].  Teoremet er navngitt etter [[Jean Paul de Gua de Malves]] (1713-1785).   

=== Indreproduktrom ===

Pytagoras’ sats kan generaliseres til et vilkårlig [[indreprodukt]]rom, som igjen er en generalisering av det euklidske rommet i to og tre dimensjoner.<ref name=MILNE>{{Kilde bok| forfatter= Ronald Douglas Milne| utgivelsesår=1980| tittel=Applied functional analysis, an introductory treatment| utgivelsessted= London| forlag= Pitman Publishing Limited| isbn=0-273-08404-6 }}</ref>  
Et indreproduktrom kan ha både endelig og uendelig dimensjon.  Elementene i et indreproduktrom, [[vektor]]ene, kan for eksempel være [[funksjon (matematikk)|funksjoner]]. 
I et indreproduktrom kan en definere lengden av elementer, avstanden mellom to elementer og også vinkelen mellom to elementer.  

Indreproduktet mellom to elementer <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> kan betegnes som <math>\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle</math>, og dette generaliserer det vanlige skalarproduktet mellom to endelig-dimensjonale vektorer.
To vektorer står [[ortogonalitet|ortogonalt]] på hverandre dersom indreproduktet mellom dem er lik null.  Lengden av en vektor er definert ved [[norm (matematikk)|normen]]:

:<math>\| \mathbf{u} \| = \sqrt{\langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle} \, .</math>

I et indreproduktrom sier Pytagoras’ teorem at for to ortogonale vektorer <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> gjelder at 

:<math>\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \ .</math>

Vektorene <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math> spiller samme rolle som katetene i en rettvinklet trekant, med hypotenusen gitt som vektorsummen <math>\mathbf{u} + \mathbf{v}</math>.
Teoremet følger av egenskaper til indreproduktet:

:<math>\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^2 =\langle \mathbf{ u+v},\ \mathbf{ u+v}\rangle = \langle \mathbf{u},\ \mathbf{ u}\rangle +\langle \mathbf{v},\ \mathbf{v}\rangle +\langle\mathbf{ u,\ v }\rangle + \langle\mathbf{ v,\ u }\rangle \ = \left\| \mathbf{u}\right\|^2 + \left\| \mathbf{v}\right\|^2 . </math>

Ligningen kan generaliseres til et vilkårlig endelig antall parvis ortogonale vektorer:

:<math>\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{u}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{u}_k\|^2.</math>

Også parallellogramloven kan generaliseres til et vilkårlig indreproduktrom, da med formen

::<math>2\|\mathbf{u}\|^2 +2 \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf {u + v} \|^2 +\| \mathbf{u-v}\|^2 \ . </math>

=== Differensialgeometri ===

I [[differensialgeometri]] blir det for det tredimensjonale euklidske rommet definert en infinitesimal lengde <math>ds</math> ved<ref>{{Kilde bok| forfatter= D.J. Struik| utgivelsesår=1961| tittel=Lectures on classical differential geometry| utgivelsessted=New York| forlag=Dover Publications| side=5-10| isbn=0-486-65609-8 }}</ref>

:<math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math>.

Dette svarer til bruk at Pytagoras’ setning for en infinitesimal avstand mellom to punkt.  For en glatt parametrisk [[kurve]] gitt på formen

:<math>\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in [a,b] \, </math>

brukes dette til å definere [[buelengde]]n av kurven:

:<math>L =  \int_a^b \sqrt{ x'^2 + y'^2 +  z'^2} \; dt \ . </math>

=== Ikke-euklidsk geometri ===
Pytagoras’ setning er basert på aksiomer i euklidsk geometri, og den euklidske formen er ikke gyldig i [[ikke-euklidsk geometri]].  I 
[[sfærisk geometri]] vil for eksempel alle tre sidene i en rettvinklet trekant som begrenser en oktant i en enhetskule, ha sidelengder <math>\pi/2</math>. 
Dette bryter opplagt med Pytagoras’ ligning.  

For ikke-euklidsk geometri kan en utlede alternative former for Pytagoras’ teorem.  I sfærisk geometri gjelder det at 
for enhver rettvinklet [[sfærisk trekant]], på en kule med radius <math>R</math>, kan Pytagoras’ teorem skrives som:

:<math> \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).</math>

Når radien <math>R</math> går mot uendelig, vil kuleflaten nærme seg en plan flate.  Tilsvarende vil den sfæriske formen på Pytagoras’ teorem gå mot den euklidske formen.  
Dette kan vises ved å utvikle cosinus-leddene som [[Taylorrekke|maclaurinrekke]]r.  

I en [[hyperbolsk geometri]] med uniform krumning <math>1 / R^2</math> kan Pytagoras’ teorem uttrykkes som:

:<math> \cosh \frac{c}{R}=\cosh \frac{a}{R}\,\cosh \frac{b}{R}</math>

Ved å rekkeutvikle den hyperbolske funksjonen som en maclaurinrekke, vil (når man tar med de to første leddene) <math>\cosh x \approx 1 + x^2/2</math>. Det kan da vises at når en hyperbolsk trekant blir lite (altså når ''a'', ''b'' og ''c'' alle går mot null), vil den hyperbolske formen av teoremet gå mot den euklidske formen.