Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Kvantisering===

Relativistiske fermioner må oppfylle [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. Det betyr at når Dirac-feltet kvantiseres og blir en feltoperator <math> \psi \rightarrow \hat\psi </math>, må det gjøres ved bruk av antikommutatorer på samme måte som for [[Andrekvantisering#Kvantisering|ikke-relativistiske fermioner]]. Da må

: <math>  \left\{\hat\psi(\mathbf{x},t),\hat\Pi(\mathbf{x'},t)\right\} = i\hbar\delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'}) </math>

som betyr at komponentene av feltoperatoren oppfyller den fundamentale antikommutatoren

: <math>  \left\{\hat\psi_\alpha(\mathbf{x},t),\hat\psi_\beta^\dagger(\mathbf{x'},t)\right\} = \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x'})\delta_{\alpha\beta}  </math>

Det kan gjøres ved å innføre kreasjon og annihilasjonsoperatorer for Dirac-partiklene og deres antipartikler på samme måte som for [[Klein-Gordon-ligning#Kvantisering|Klein-Gordon-feltet]]. Først blir derfor det klassiske feltet uttrykt ved løsninger av den frie Dirac-ligningen ved en firedimensjonal  [[Fourier-transformasjon]],

: <math> \psi(x) = \int\! {d^4p\over (2\pi\hbar)^4} \sum_{s=1,2} 2\pi\hbar\delta(p^2 - m^2) c_s(p) u_s(p)\,e^{-ip\cdot x/\hbar} </math>

hvor firevektoren <math> p^\mu = (p_0, \mathbf{p}) </math> slik at <math> p\cdot x = p_0t - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x} </math> og deltafunksjonen opptrer fordi feltet skal beskrive partikler med masse ''m''. Den kan splittes opp som

: <math>\begin{align} \delta(p^2 - m^2) &= \delta(p_0^2 - E^2) \\ &= {1\over 2E_\mathbf{p}} \left[\delta(p_0 - E) + \delta(p_0 + E) \right] \end{align}</math>

hvor <math> E = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2c^2} </math> er den relativistiske energien til en partikkel med impuls '''p'''. Den firedimensjonale Fourier-transformasjonen splittes dermed opp i to tredimensjonale transformasjoner. Feltoperatoren tar formen

: <math>  \hat{\psi}(x) = \int\! {d^3p\over 2E (2\pi\hbar)^3}\sum_{s=1,2} \left[ \hat{c}_s(p) u_s(p)\, e^{-ip\cdot x/\hbar} +  \hat{d}_s^\dagger(p) v_s(p)\, e^{ip\cdot x/\hbar} \right] </math>

etter man i det siste leddet har latt <math> \mathbf{p} \rightarrow - \mathbf{p}. </math>  og latt  Fourier-komponentene bli antikommuterende operatorer bortsett fra 

: <math>  \left\{\hat{c}_s(p), \hat{c}^\dagger_{s'}(p')\right\} =  \left\{\hat{d}_s(p), \hat{d}^\dagger_{s'}(p')\right\}  =2E (2\pi\hbar)^3 \delta(\mathbf{p} - \mathbf{p}')\delta_{ss'}  </math>

Her vil nå <math> \hat{c}^\dagger_{s}(p) </math> skape en partikkel, mens <math> \hat{c}_{s}(p) </math> vil fjerne den. Det samme gjelder for antipartikler med <math> \hat{d}^\dagger_{s}(p) </math> og <math> \hat{d}_{s}(p). </math> I denne fremstillingen er det en konsekvens  av definisjonen <math> \hat{c}(-p) = \hat{d}^\dagger(p) .</math> Den er i overensstemmelse med Diracs innføring av en uendelig stor «Dirac-sjø» der man ved å fjerne en partikkel med negativ energi, skaper en antipartikkel med positiv energi.<ref name = Tony/>

Ved hjelp av disse feltoperatorene kan Hamilton-operatoren for Dirac-feltet finnes. På samme måte som for Klein-Gordon-partikler vil den da uttrykkes ved de sammensatte operatorene <math> \hat{c}^\dagger_{s}\hat{c}_{s} </math> og <math> \hat{d}^\dagger_{s}\hat{d}_{s} </math> som teller opp antall partikler og antipartikler som finnes i forskjellige tilstander. Det kommer spesielt tydelig frem når man beregninger operatoren for total, elektrisk ladning i feltet. Den blir

: <math>\begin{align} \hat{Q} &= e\! \int\!d^3x \,\hat{\psi}^\dagger(x)\hat{\psi}(x) \\ &=  e\!  \int\! {d^3p\over 2E_\mathbf{p} (2\pi\hbar)^3}\sum_{s=1,2} \left(\hat{c}^\dagger_{s}(p)\hat{c}_{s}(p)  -  \hat{d}^\dagger_{s}(p)\hat{d}_{s}(p) \right) \end{align}</math>

som viser at partikler og deres antipartikler opptrer med motsatt ladning.