Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

==Tre dimensjoner==
[[Fil:Inv-kugel.svg|thumb|300px|Ved inversjon i den <span style="color:red;"> røde </span> kulen, går kulen til venstre over i den til høyre.]]
Sirkelinversjon kan generaliseres til euklidske rom med høyere dimensjoner. Med et inversjonssentrum i punktet ''O'', vil et vilkårlig punkt ''P'' bli transformert til et nytt punkt ''P'&thinsp;'' slik at avstandene ''OP'' og ''OP'&thinsp;'' oppfyller betingelsen at produktet ''OP''&sdot;''OP'&thinsp;'' er en konstant.<ref name = CR/>

For det tredimensjonale rommet '''R'''<sup>3</sup> med koordinater (''x,y,z'') gjennomføres inversjonen i en [[sfære|kuleflate]]. Har denne sentrum i origo, er transformasjonen dermed definert som

: <math> (x,y,z)  \rightarrow {r^2(x,y,z)\over x^2 + y^2 + z^2} </math>

hvor ''r'' er radius i kulen. I det mer generelle tilfellet der inversjonssenteret ligger i et punkt '''x'''<sub>0</sub> utenfor origo, kan transformasjonen skrives som

: <math> \mathbf{x} \rightarrow  \mathbf{x}_0 + r^2 {\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\over  | \mathbf{x} -  \mathbf{x}_0|^2} </math>

ut fra samme argumentasjon som i to dimensjoner. Ved analytiske eller rent geometriske betraktninger kan man vise at dette gir en [[konform avbildning]] av rommet på seg selv.<ref name = Blair> D.E. Blair, ''Inversion Theory and Conformal Mapping'', Student Mathematical Library. No. 9, AMS (2000).</ref> 

Det er mulig å inkludere også origo (0,0,0) i denne avbildningen ved å utvide rommet med et punkt <math>\infty</math> i det uendelige. Dermed får det euklidske rommet '''R'''<sup>3</sup> samme [[topologi]] som den kompakte, tredimensjonale kuleflaten '''S'''<sup>3</sup>. Dette tilsvarer at '''R'''<sup>2</sup> avbildes på '''S'''<sup>2</sup> ved en slik kompaktifisering av planet.

På tilsvarende måte som i to dimensjoner vil en inversjon i tre dimensjoner transformere plan og kuleflater over til geometriske objekt av samme sort. Et plan går generelt over til en kuleflate bortsett fra når det går gjennom origo. Da blir det avbildet på samme plan. Tilsvarende vil en kuleflate gjennom origo bli avbildet på et plan, men generelt vil den transformeres til en annen kuleflate.