Redigerer Feynmans veiintegral (avsnitt)

===Harmonisk oscilllator===

Veiintegralet til en harmonisk oscillator kan utføres eksakt da dens energi er kvadratisk både i hastighet og posisjon.  Det resulterer i at dens propagator ''K''(''q<sub>b</sub>'',''t<sub>b</sub>'';''q<sub>a</sub>'',''t<sub>a</sub>'') kan utrykkes ved den klassiske virkningen. Etter å ha innført imaginær tid  {{nowrap|''i''(''t<sub>b</sub>'' - ''t<sub>a</sub>'') {{=}} ''&beta;ħ''&thinsp;}} i denne, tar den formen

: <math>  {i\over\hbar} S_{cl} [q]  \rightarrow - S_{cl}^E [q] =  - {m\omega\over 2\hbar\sinh\beta\hbar\omega}\big[(q_a^2 + q_b^2)\cosh\beta\hbar\omega - 2q_a q_b \big] </math>

da de [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjonene]] går over til de tilsvarende  [[hyperbolsk funksjon|hyperbolske funksjonene]]. Det samme gjelder for prefaktoren i veiintegralet som blir

: <math> F(t_b, t_a) \rightarrow  F^E (\beta) = \left({m\omega\over 2\pi \hbar\sinh\beta\hbar\omega} \right)^{1/2} </math>

Ved å benytte identitetene cosh&thinsp;2''x'' - 1 = 2&thinsp;sinh<sup>2</sup>''x&thinsp;'' og {{nowrap|sinh&thinsp;2''x'' {{=}}  2&thinsp;sinh''x''&thinsp;cosh''x'',}} følger partisjonsfunksjonen fra det reelle [[Gauss-integral]]et

: <math> \begin{align} Z(\beta) &= F^E (\beta)  \int_{-\infty}^\infty\! dq\,\exp\Big(- (m\omega\, q^2/\hbar) \tanh\beta\hbar\omega/2 \Big)\\ &=  {1\over 2\sinh\beta\hbar\omega/2} \end{align} </math>

Ved høy temperatur der ''&beta;ħ&omega;'' = ''ħ&omega;''/''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' &rarr; 0, går dette over til resultatet fra [[Boltzmann-fordeling#Harmonisk oscillator|klassisk, statistisk mekanikk]]. Den [[indre energi]]en er da ''U'' = ''k<sub>B</sub>T&thinsp;'' i ovensstemmelse med [[ekvipartisjonsprinsipp]]et. Kvantemekanisk er nå denne energien derrimot

: <math> \begin{align} U &= - {\partial\over\partial\beta} \ln Z  =  {1\over 2}\hbar\omega \coth{1\over 2}\beta\hbar\omega \\
&=  {1\over 2}\hbar\omega  + {\hbar\omega\over e^{\beta\hbar\omega} - 1} \end{align}</math> 

Den første termen her er [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunktsenergi|nullpunktsenergien]] ''ħ&omega;''/2 til oscillatoren som den har når ''&beta;'' &rarr; &infin;, det vil si ved null grader. Det andre leddet fremkommer mer direkte ved å utføre summasjonen i partisjonsfunksjonen med bruk av energiene {{nowrap|''E<sub>n</sub>'' {{=}} ''ħ&omega;''(''n'' + 1/2)}} som følger fra [[Kvantisert harmonisk oscillator|kvantisering av oscillatoren]].<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>